מטריצה הפיכה: תכונה מתמטית של מטריצה

שמות נוספים למטריצה הפיכה הם מטריצה רגולרית ומטריצה לא סינגולרית.

תהי ${\displaystyle \ A}$  מטריצה מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ . המטריצה תיקרא "הפיכה" אם קיימת מטריצה אחרת, שתסומן ${\displaystyle \ A^{-1}}$  ותיקרא המטריצה ההופכית של ${\displaystyle \ A}$ , כך שמתקיים ${\displaystyle \ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}}$ , כאשר ${\displaystyle \ I_{n}}$  היא מטריצת היחידה מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ , בפעולת כפל מטריצות סטנדרטי.

מטריצה שאינה הפיכה תיקרא סינגולרית (או לא הפיכה).

קיימות מספר שיטות יעילות לחישוב מטריצה הופכית כשהנפוצות ביותר הן דירוג מטריצות (אלימינציית גאוס-ז'ורדן) ושיטת ניוטון-רפסון.

מטריצות הפיכות

לפי ההגדרה, כדי להראות שמטריצה מסוימת היא הפיכה, מספיק למצוא מטריצה נוספת כך שמכפלתן היא מטריצה היחידה. לכן, דוגמה טריוויאלית למטריצה הפיכה היא מטריצת היחידה עצמה, ${\displaystyle \ I_{n}}$  .

דוגמה נוספת היא המטריצה:

${\displaystyle \ A={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$  מטריצה זו הפוכה לעצמה: ${\displaystyle \ A^{2}=I_{2}}$ .

מטריצות לא הפיכות

מטריצת האפס היא לא הפיכה, כי תוצאת המכפלה של כל מטריצה עם מטריצת האפס היא שוב מטריצת האפס, ואף פעם לא ${\displaystyle \ I_{n}}$ . באופן כללי יותר, אם AB=0 (כאשר ${\displaystyle \ B\neq 0}$ ) אז A אינה הפיכה. זוהי תכונה כללית של הכפל בחוגים: מחלק אפס אינו יכול להיות הפיך. בחוג המטריצות מעל שדה מתקיים גם הכיוון ההפוך: אם A אינה הפיכה, אז יש ${\displaystyle \ B\neq 0}$ כך ש-AB=0.

שיטות למציאת המטריצה ההפכית

את המטריצה ההופכית של מטריצה הפיכה מסדר 2 ניתן להציג באופן כללי על ידי הנוסחה הבאה:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,}$  ${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}\ d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\,\ ,}$ 

זהו מקרה פרטי של הנוסחה הנכונה לכל מטריצה:

$${\displaystyle \ A\cdot \mathrm {adj} (A)=\det A\cdot I}$$

 

כאשר ${\displaystyle \ {\mbox{adj}}(A)}$ היא המטריצה המצורפת ל-${\displaystyle \ A}$ ו-${\displaystyle \ I}$ היא מטריצת היחידה. כאשר הדטרמיננטה אינה אפס מתקבל מהנוסחה, על ידי העברת אגפים, שהמטריצה ההופכית היא המטריצה המצורפת חלקי הדטרמיננטה:

$${\displaystyle \ A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det A}},det(A)\neq 0}$$

 

דרך נוספת למציאת מטריצה הפיכה היא לשרשר את מטריצת ${\displaystyle \ I}$  מימין למטריצה (מטריצה כזו נקראת לפעמים מטריצה מורחבת) ${\displaystyle \ A}$  ולמצוא קומבינציה ליניארית של השורות אשר תניב את המטריצה ${\displaystyle \ I|A^{-1}}$ .

לדוגמה את המטריצה

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-1&-2\\2&-3&-5\\-1&3&5\end{bmatrix}}}$ 

נרשום את המטריצה:

${\displaystyle A:I=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\2&-3&-5&0&1&0\\-1&3&5&0&0&1\end{array}}\right]}$ 

ונדרגה:

חיסור השורה הראשונה כפול 2 מהשורה השנייה, וחיבור השורה הראשונה לשורה השלישית:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&-1&-1&-2&1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right]}$ 

הכפלת השורה השנייה ב-1-:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right]}$ 

חיבור השורה השנייה לראשונה, וחיסור השורה השנייה כפול 2 מהשורה השלישית:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&3&-1&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&0&1&-3&2&1\end{array}}\right]}$ 

חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השנייה:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&0&1&1\\0&1&0&5&-3&-1\\0&0&1&-3&2&1\end{array}}\right]}$ 

ולכן

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}0&1&1\\5&-3&-1\\-3&2&1\end{bmatrix}}}$ 

יש להדגיש כי לא כל המטריצות הפיכות ואפשר לראות זאת באמצעות השיטה הזו. למשל

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&5\\1&2&7\\2&-1&4\end{bmatrix}}}$ 

נרשום:

${\displaystyle A:I=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&1&5&1&0&0\\1&2&7&0&1&0\\2&-1&4&0&0&1\end{array}}\right]}$ 

ונדרג

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&1&5&1&0&0\\0&1&2&-1&1&0\\0&-3&-6&-2&0&1\end{array}}\right]}$ 

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&3&2&-1&0\\0&1&2&-1&1&0\\0&0&0&-5&3&1\end{array}}\right]}$ 

המטריצה האחרונה אליה הגענו אינה ניתנת להפיכה למטריצה מן הסוג ${\displaystyle \ I:A^{-1}}$  ועל כן המטריצה ${\displaystyle \ A}$  היא בלתי הפיכה.

הוכחה לשיטת הבלוקים: נשים לב שביצוע סדרת פעולות על שורות מטריצה (דירוג מטריצות) שקול לכפל במטריצה הפיכה B. מאחר שמבצעים את אותן פעולות על A ו-I מקבלים: ${\displaystyle BA:BI}$  אבל אם מגיעים ל-${\displaystyle BA=I}$  הרי ש-${\displaystyle B=A^{-1}}$  וזו בדיוק המטריצה המתקבלת בבלוק הימני (כלומר: ${\displaystyle I:B=I:A^{-1}}$ ).‏

תנאים שקולים להפיכות

תהא ${\displaystyle \ A}$ מטריצה מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ . כל התנאים הבאים שקולים. כלומר אם אחד מתקיים, כולם מתקיימים:

• ${\displaystyle \ A}$ היא מטריצה הפיכה.
• קיימת מטריצה ${\displaystyle \ B}$ כך ש-${\displaystyle \ BA=I}$ . (כלומר, ${\displaystyle \ A}$ הפיכה משמאל)
• קיימת מטריצה ${\displaystyle \ B}$ כך ש-${\displaystyle \ AB=I}$ . (כלומר, ${\displaystyle \ A}$ הפיכה מימין)
• ${\displaystyle \ A}$ אינה מחלק אפס בחוג המטריצות הריבועיות. (כלומר, לכל מטריצה ${\displaystyle \ B\neq 0}$ , מתקיים ${\displaystyle \ AB,BA\neq 0}$ )
• ${\displaystyle \ \det(A)\neq 0}$ (כלומר, דטרמיננטת המטריצה שונה מ-0).
• ${\displaystyle \ {\mbox{rank}}(A)=n}$ (כלומר, דרגת המטריצה שווה ל-n).
• ${\displaystyle \ A}$ שקולת שורות ל-${\displaystyle \ I_{n}}$ (כלומר, ניתן להגיע מ${\displaystyle \ A}$ אל ${\displaystyle \ I_{n}}$ באמצעות פעולות אלמנטריות).
• ${\displaystyle \ A}$  היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.
• למערכת המשוואות הליניאריות ${\displaystyle \ Ax=0}$ קיים רק פתרון אחד והוא הפתרון הטריוויאלי, כלומר ${\displaystyle \ x=0\Leftarrow Ax=0}$  (בניסוח אחר: מרחב הפתרונות מנוון).
• למערכת המשוואות הליניאריות ${\displaystyle \ Ax=b}$ קיים פתרון לכל וקטור עמודה ${\displaystyle \,b}$ מסדר ${\displaystyle \,n}$ (פתרון זה יהיה יחיד).
• עמודות המטריצה הן בלתי תלויות ליניארית.
• שורות המטריצה הן בלתי תלויות ליניארית.
• 0 אינו ערך עצמי של המטריצה.
• ההעתקה הליניארית ${\displaystyle \ T(x)=Ax}$ מעבירה בסיס לבסיס.
• ההעתקה הליניארית ${\displaystyle \ T(x)=Ax}$ היא חד חד ערכית. באופן שקול, הגרעין טריוויאלי (${\displaystyle \ker(A)=\{0\}}$ )
• ההעתקה הליניארית ${\displaystyle \ T(x)=Ax}$ היא על.
• ממד מרחב השורות של A הוא n.
• ממד מרחב העמודות של A הוא n.
• ${\displaystyle A}$ מאפסת פולינום עם מקדם חופשי שונה מ-0.

תכונות אלגבריות

יהיו A ו-B מטריצות הפיכות.

• ${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}$ 
• ${\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}$  כאשר ${\displaystyle A^{T}}$  היא המטריצה המשוחלפת.
• לכל סקלר ${\displaystyle k\neq 0}$  מתקיים ${\displaystyle (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}}$ 
• ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ 
• ${\displaystyle \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}}$  (דטרמיננטה)
• אם ${\displaystyle A(t)}$ מטריצה הפיכה גזירה לכל ${\displaystyle t\in J}$  (זוהי מטריצה התלויה בפרמטר t) אזי ${\displaystyle {\frac {dA^{-1}}{dt}}=-A^{-1}{\frac {dA}{dt}}A^{-1}}$ 
• אם ${\displaystyle \epsilon }$ מספר קטן, אזי ${\displaystyle (A+\epsilon X)^{-1}=A^{-1}-\epsilon A^{-1}XA^{-1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})}$ 

קבוצת המטריצות ההפיכות

לפי מה שכתוב לעיל, ניתן להציג את קבוצת כל המטריצות ההפיכות כקבוצת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן לא מתאפסת:

$${\displaystyle \ \mathbf {GL} _{n}(F)=\left\{A\in F^{n\times n}|\ \ \det \ A\neq 0\right\}}$$

 

${\displaystyle \ \mathbf {GL} _{n}(F)}$ 

${\displaystyle \ F}$ 

מבחינה טופולוגית קבוצה זו היא קבוצה פתוחה, כיוון שהיא מתקבלת כהעתקה ההפוכה של פונקציית הדטרמיננטה (שהיא פונקציה רציפה), של הקבוצה הפתוחה ${\displaystyle \ F-\left\{0\right\}}$ . קבוצה זו צפופה במרחב המטריצות. בגאומטריה דיפרנציאלית, קבוצה זו היא יריעה חלקה, ואף אנליטית מממד ${\displaystyle \ n^{2}}$  כאשר ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$  או ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$ . בנוסף, יחד עם פעולת כפל מטריצות, קבוצה זו מהווה חבורת לי.

הפיכוּת מצד אחד

מטריצה ${\displaystyle A}$  נקראת הפיכה משמאל אם קיימת מטריצה ${\displaystyle P}$  כך ש ${\displaystyle PA=I}$ . ההופכית השמאלית ${\displaystyle P}$  אינה נקבעת ביחידות אם ${\displaystyle A}$  אינה ריבועית.

בדומה, מטריצה ${\displaystyle A}$  נקראת הפיכה מימין אם קיימת מטריצה ${\displaystyle Q}$  כך ש ${\displaystyle AQ=I}$ .

מטריצה שהפיכה גם מימין וגם משמאל היא מטריצה הפיכה, ובפרט היא ריבועית. מטריצה שהפיכה רק מצד אחד אינה ריבועית.

הפכי מור-פנרוז

מושג המטריצה ההופכית הוכלל על ידי אליקים מור ורוג'ר פנרוז עבור מטריצות שאינן בהכרח ריבועיות; ראו (Moore–Penrose pseudoinverse).

• נוסחת וודברי

• מטריצה הפיכה, באתר MathWorld (באנגלית)