线性代数 |
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的伴随矩阵记作,或。
定义
设R是一个交换环,A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义:
- 定义:A关于第i行第j列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
- 定义:A关于第i行第j列的代数余子式是:
- 。
- 定义:A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C,使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后,可以定义:矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵:
- ,
也就是说,A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵(记作adj(A)),使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。 简言之,伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写:
- 。
例子
2x2矩阵
一个 矩阵 的伴随矩阵是
-
3x3矩阵
对于 的矩阵,情况稍微复杂一点:
-
其伴随矩阵是:
-
其中
-
要注意伴随矩阵是餘因子矩陣的转置,因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。
具体情况
对于数值矩阵, 例如求矩阵 的伴随矩阵 ,
只需将数值代入上节得到的表达式中。
即: 。
其中, 為刪掉矩陣 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式, 為矩陣 的餘因子。
例如: 中第3行第2列的元素为
-
依照其順序一一計算,便可得到计算后的结果是:
-
应用
作为拉普拉斯公式的推论,关于n×n矩阵A的行列式,有:
-
其中I是n阶的单位矩阵。事实上,A adj(A)的第i行第i列的系数是
- 。根据拉普拉斯公式,等于A的行列式。
如果i ≠ j,那么A adj(A)的第i行第j列的系数是
- 。拉普拉斯公式说明这个和等于0(实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同,行列式为0)。
由这个公式可以推出一个重要结论:交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。
这是因为如果A可逆,那么
- ,
如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明
-
性质
对 的矩阵A和B,有:
- ,
- ,
- ,
- ,
-
- 当n>=2时,
- 如果A可逆,那么
- 如果A是对称矩阵,那么其伴随矩阵也是对称矩阵;如果A是反对称矩阵,那么当n为偶数时,A的伴随矩阵也是反对称矩阵,n为奇数时则是对称矩阵。
- 如果A是(半)正定矩阵,那么其伴随矩阵也是(半)正定矩阵。
- 如果矩阵A和B相似,那么 和 也相似。
- 如果n>2,那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当
伴随矩阵的秩
当矩阵A可逆时,它的伴随矩阵也可逆,因此两者的秩一样,都是n。当矩阵A不可逆时,A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时,其伴随矩阵的秩为1,当A的秩小于n-1时,其伴随矩阵为零矩阵。
伴随矩阵的特征值
设矩阵A在复域中的特征值为 (即为特征多项式的n个根),则A的伴随矩阵的特征值为
- 。
证明
这里要用到一个结论作为引理:一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数,它们的乘积等于矩阵的行列式。
分3种情况讨论:
- 如果A的秩为n,即是说A可逆,那么由引理有: 。只需证明A的伴随矩阵的特征值为 。考察矩阵 :
-
-
-
由于 ,因此
-
-
-
因此
-
-
-
-
可以看到 的特征多项式为 ,因此命题成立。
- 如果A的秩严格小于n-1,即是说A至少有两个特征值为0,于是
-
全部都是0。这时A的伴随矩阵为0,因此特征值也全是0。命题成立。
- 如果A的秩等于n-1,即是说A至少有一个特征值为0,不妨设其为 。由于这时A的伴随矩阵秩为1,它至少有n-1个特征值为0。设剩余的一个为 ,则其迹数为 。另一方面,A的伴随矩阵的迹数为
-
这个和恰好等于 ,即等于 (其余都是0)。
综上所述,对任意的矩阵A,命题都成立。
伴随矩阵和特征多项式
设 为 的特征多项式,定义 ,那么:
- ,
其中 是 的各项系数:
- 。
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。
参见
参考来源
外部链接
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