Geadjugeerde Matrix

Men verkrijgt de geadjugeerde van een vierkante matrix A door elk element van die matrix te vervangen door zijn cofactor en vervolgens te transponeren. In symbolen

adj(A)_ji = (−1)^i+j M_ij = C_ij

Hierin staat M_ij voor de minor van het element a_ij van A en C_ij voor de cofactor van het element a_ij van A.

We bepalen de geadjugeerde matrix van A.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&-3&2\\3&0&1\end{pmatrix}}}$ 
${\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-3&2\\0&0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&2\\3&0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&-3&0\\3&0&0\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&-1&0\\0&0&1\\3&0&0\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}0&-1&0\\0&-3&2\\1&0&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&0&0\\1&0&2\\0&1&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&-1&0\\1&-3&0\\0&0&1\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-3&5&9\\1&2&-3\\-2&-4&-5\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-3&1&-2\\5&2&-4\\9&-3&-5\end{pmatrix}}}$ 

• adj(A) A = A adj(A) = det(A) I_n
• adj(AB) = adj(B) adj(A)
• adj(A^T) = (adj(A))^T
• det(adj(A)) = det(A)ⁿ⁻¹

De geadjugeerde kan gebruikt worden om de inverse matrix te bepalen, indien deze bestaat.

Uit de eerste eigenschap kunnen we namelijk volgend resultaat bekomen:

${\displaystyle A^{-1}=\det(A)^{-1}\operatorname {adj} \left(A\right)={\frac {1}{\det \left(A\right)}}\operatorname {adj} \left(A\right)}$ .

Merk op dat dit inderdaad enkel mogelijk is voor det(A) ≠ 0, dus voor inverteerbare matrices. Daarnaast, merk op dat ${\displaystyle {\tfrac {1}{\det \left(A\right)}}\operatorname {adj} \left(A\right)}$  niet geschreven mag worden als ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {adj} \left(A\right)}{\det \left(A\right)}}}$ , aangezien een matrix strikt genomen niet deelbaar is door een scalair.