ماتریس الحاقی

ماتریسِ همسازه‌ها (به انگلیسی: matrix of cofactors or comatrix) به ماتریسی که شامل همه همسازه‌هایِ یک ماتریس می‌باشد، گفته می‌شود. از ماتریسِ الحاقی برای محاسبهٔ ماتریس وارون استفاده می‌شود.

فرض کنید ${\displaystyle A}$  ماتریسی مربعی باشد.

• کِهادِ ${\displaystyle ij}$ امِ ماتریسِ ${\displaystyle A}$ ، عبارت است از دترمینانِ ماتریسِ مربعی‌ای که از حذف سطرِ ${\displaystyle i}$ ام و ستونِ ${\displaystyle j}$ امِ ماتریسِ ${\displaystyle A}$  بدست می‌آید و آنرا با ${\displaystyle \mathbf {M} _{ij}}$  نشان می دهیم.
• همسازۀ ${\displaystyle ij}$ امِ ماتریسِ ${\displaystyle A}$ ، از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}.\,}$ 

حال، ماتریس الحاقیِ ماتریسِ ${\displaystyle A}$ ، برابر است با ترانهادهٔ ماتریسِ ${\displaystyle \mathbf {C} }$  (ماتریسِ ${\displaystyle \mathbf {C} }$  همان ماتریسِ همسازه‌ها می‌باشد):

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}.\,}$ 

ماتریس‌ ۲ × ۲

ماتریس الحاقی ماتریس ۲ × ۲

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}$ 

برابر است با

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}.}$ 

ماتریس‌ ۳ × ۳

ماتریس ۳ × ۳ زیر را در نظر بگیرید

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}.}$ 

ماتریس الحاقی، ترانهادهٔ ماتریس همسازهٔ آن است، پس

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}.}$ 

بنابراین خواهیم داشت

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}$ 

که

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A_{im}&A_{in}\\\,\,A_{jm}&A_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}A_{im}&A_{in}\\\,\,A_{jm}&A_{jn}\end{matrix}}\right).}$ 

ماتریس الحاقی خواص زیر را دارد

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} \,}$ 
${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,}$ 
${\displaystyle \mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}$ 

برای تمام ماتریس های مربعی A و B

• ویکی‌پدیای انگلیسی

• راهنمای بدست آوردن ماتریس الحاقی