מתמטיקה שחלוף: פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה

הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

תהא ${\displaystyle \!\,A}$  מטריצה מסדר ${\displaystyle n\times m}$ . המטריצה המשוחלפת שלה, ${\displaystyle A^{\top }}$  (מקובלים גם הסימונים ${\displaystyle \ A^{T},A^{t},{}^{t}A,A^{tr},A'}$ ) היא מטריצה מסדר ${\displaystyle \!\,m\times n}$  שמוגדרת כך: ${\displaystyle \!\,(A^{\top })_{ij}=(A)_{ji}}$ , עבור כל ${\displaystyle \!\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ .

דוגמאות:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\top }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\qquad }$ 

${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\top }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$ 

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

• ${\displaystyle \!\,(A+B)^{\top }=A^{\top }+B^{\top }}$ .
• ${\displaystyle \!\,(\lambda A)^{t}=\lambda (A^{\top })}$ .
• ${\displaystyle \!\,(AB)^{\top }=B^{\top }A^{\top }}$ 
• ${\displaystyle \!\,(A^{\top })^{\top }=A}$ 

מן התכונות האלה נובע גם שאם ${\displaystyle \!\,A}$  הפיכה אז גם ${\displaystyle \ A^{\top }}$  הפיכה ו-${\displaystyle \!\,(A^{\top })^{-1}=(A^{-1})^{\top }}$ .

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של ${\displaystyle \ A^{t}}$  שווה לזה של ${\displaystyle \ A}$ , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצה ריבועית ${\displaystyle \ A}$  נקראת סימטרית אם ${\displaystyle A^{\top }=A}$ , כלומר ${\displaystyle \ A}$  שווה למטריצה המשוחלפת שלה. ${\displaystyle \ A}$  נקראת אנטי-סימטרית אם ${\displaystyle A^{\top }=-A}$ .

אם ${\displaystyle \ A}$  היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים ${\displaystyle \ A^{-1}=A^{\top }}$ , אז ${\displaystyle \ A}$  נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית ${\displaystyle \ A}$  היא אורתוגונלית אם ורק אם ${\displaystyle \ AA^{\top }=A^{\top }A=I}$ , כאשר ${\displaystyle \ I}$  היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה ${\displaystyle \ A}$  מסומן ${\displaystyle \ A^{*}}$  וכאמור מוגדר לפי ${\displaystyle \ (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}}$ . אם ${\displaystyle \ A}$  מקיימת ${\displaystyle \ A^{*}=A}$ , היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

  ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה ליניארית

אם ${\displaystyle \ V}$  ו-${\displaystyle \ W}$  הם מרחבים וקטוריים מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$  ו-${\displaystyle T:V\to W}$  היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה ${\displaystyle T^{\top }:W^{*}\to V^{*}}$  בין המרחבים הדואליים של ${\displaystyle \ W}$  ו-${\displaystyle \ V}$  המוגדרת באופן הבא:

זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת ${\displaystyle \ T}$ . הפונקציונל ${\displaystyle \ T^{\top }g}$  מכונה לעיתים המשיכה לאחור של ${\displaystyle \ g}$  במקביל ל-${\displaystyle \ T}$ .

אם ${\displaystyle \ V}$  ו-${\displaystyle \ W}$  הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  הוא בסיס סדור ל-${\displaystyle \ V}$  עם בסיס דואלי ${\displaystyle {\mathfrak {B}}^{*}}$ , ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$  הוא בסיס סדור ל-${\displaystyle \ W}$  עם בסיס דואלי ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'^{*}}$  ו-${\displaystyle \ A}$  היא המטריצה המייצגת של ${\displaystyle \ T}$  ביחס לבסיסים ${\displaystyle {\mathfrak {B}},{\mathfrak {B}}'}$ , אז המטריצה המייצגת של ${\displaystyle \ T^{\top }}$  ביחס לבסיסים ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'^{*},{\mathfrak {B}}^{*}}$  היא בדיוק ${\displaystyle \ A^{\top }}$ .

• שחלוף, באתר MathWorld (באנגלית)