Кешен Сан

Мұндағы ${\displaystyle a}$ және ${\displaystyle b}$ - нақты сандар, ${\displaystyle i}$ - жорамал бірлік және ${\displaystyle i^{2}=-1}$ немесе ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$. ${\displaystyle a}$ комплекс санның нақты бөлігі, ${\displaystyle b}$ – жорамал бөлігі.

Кешен санның аргументі - нақты өстің оң бағыты мен аффиксі z=a+bi саны болатын нүктенің радиус векторы арасындағы бұрыш. Кешен санның аргументі көпмәнді шама. Ол Arg z деп белгіленеді. (-π;π] аралығында жатқан кешен санның аргументі оның бас мәні деп ағалады да, arg z деп белгіленеді. Кешен санның аргументі өзінің бас мәні арқылы мына теңдік арқылы өрнектеледі: Arg z = arg z + 2kπ. z=a+bi Кешен санның аргументі бас мәнін табу ережесі:

arg z = arct b/a, егер x>0,
arg z = arct b/a + π, егер x<0, y≥0,
arg z = arct b/a - π, егер x<0, y<0.

Нақты теріс саны аргументінің бас мәні π деп келісілген. Кеңейтілген кешен жазықтығындағы ∞ жэне 0 сандарының аргументтері анықталмаған.

Кешен санның модулі z=a+bi кешен санның модулі деп осы санды кескіндейтін нүктенің радиус векторының ұзындығын айтады. Бұл теріс нақты сан. z санның модулі |z| деп белгіленеді де, ${\displaystyle |z|-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$  формуласы арқылы есептеледі.

• Салыстыру
  ${\displaystyle a+bi=c+di}$  теңдігі ${\displaystyle a=c}$  және ${\displaystyle b=d}$  дегенді білдіреді (екі комплекс сан егер олардың нақты және жорамал бөліктері тең болса ғана өзара тең болады).
• Қосу
  ${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$ 
• Алу
  ${\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.}$ 
• Көбейту
  ${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.}$ 
• Бөлу
  ${\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i.}$ 

Комплекс санның аргументі - жазықтықтағы комплекс санды өрнектейтін нүктенің радиус-векторы мен абцисса осінің арасындағы бұрышы