ტრანსცენდენტური რიცხვი

ტრანსცენდენტური რიცხვების ყველაზე გამორჩეული მაგალითებია რიცხვები π და e. ტრანსცენდენტური რიცხვების მხოლოდ რამდენიმე კატეგორიაა ცნობილი. ეს იმითაა განპირობებული, რომ რიცხვის ტრანსცენდენტურობის დამტკიცება, შესაძლოა, მეტად რთული იყოს.

თუმცა ტრანსცენდენტური რიცხვები არც ისე იშვიათია. უფრო მეტიც, თითქმის ყველა ნამდვილი და კომპლექსური რიცხვი ტრანსცენდენტურია, რახან ალგებრული რიცხვების სიმრავლე თვლადია, ნამდვილი და კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე კი — არათვლადი. ყველა ნამდვილი ტრანსცენდენტური რიცხვი ირაციონალურია, რადგან ყველა რაციონალური რიცხვი ალგებრულია. თუმცა ყველა ირაციონალური რიცხვი არაა ტრანსცენდენტური.

ლეონარდ ეილერი პირველი იყო, ვინც ტრანსცენდენტური რიცხვების თანამედროვე განმარტება მოგვცა.. სახელწოდება „ტრანსცენდენტური“ გოტფრიდ ლაიბნიცს ეკუთვნის, რომელმაც თავის 1682 წლის ნაშრომში დაამტკიცა, რომ sin x არაა x-ის ალგებრული ფუნქცია.

ჯოზეფ ლიუვილმა პირველმა დაამტკიცა ტრანსცენდენეტური რიცხვების არსებობა 1844 წელს , 1851 წელს კი ასეთი რიცხვის პირველი ათობით ჩანაწერი მოგვცა: ეს იყო ლიუვილის მუდმივა:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots ,}$ 

რომლის მე-n ციფრი (ათწილადის მძიმის შემდეგ) 1-ის ტოლია, თუ n ზუსტად უდრის ნატურალური k-ს ფაქტორიალს (ანუ, თუ n=1, 2, 6, 24, 120, 720, …), და 0-ის ტოლი, თუ არ უდრის. ლიუვილმა აჩვენა, რომ ეს მუდმივა დღესდღეობით წოდებულ ლიუვილის რიცხვს წარმოადგენს, რაც ნიშნავს, რომ მისი რაციონალური რიცხვებით მიახლოება ძალიან ზუსტია; გაცილებით ზუსტი, ვიდრე ნებისმიერი ალგებრული რიცხვისა. ლიუვილმა აჩვენა, რომ ყველა ლიუვილის რიცხვი ტრანსცენდენტურია.

იოჰან ჰაინრიხ ლამბერტმა ივარაუდა, რომ მუდმივები e და π ტრანსცენდენტური რიცხვებია თავის 1761 წლის ნაშრომში, რომელშიც π-ის ირაციონალურობას ამტკიცებდა. პირველი რიცხვი, რომლის ტრანსცედენტურობა დაამტკიცეს და უშუალოდ ამ მიზნისთვის არ გამოუგონიათ, e იყო. მისი ტრანსცედენტურობა შარლ ერმიტმა დაადგინა. 1874 წელს გეორგ კანტორმა დაამტკიცა, რომ რიცხვთა უმეტესობა ტრანსცედენტურია ზემოთ ნახსენები თვლადობის არგუმენტის დასაბუთებით.

1882 წელს ფერდინანდ ფონ ლინდემანმა π-ის ტრანსცენდენტურობის დამტკიცება გამოაქვეყნა. მან ჯერ აჩვენა, რომ e-ს ნებისმიერი არანულოვანი ალგებრული ხარისხი ტრანსცედენტურია, და რახან eiπ = −1 (იხ. ეილერის იგივეობა) ალგებრულია, ე.ი. iπ და, მაშასადამე, π ტრანსცედენტურია. ეს მიდგომა კარლ ვაიერშტრასმა ლინდემან–ვაიერშტრასის თეორემაში განაზოგადა. π-ის ტრანსცენდენტურობის დამტკიცებამ რამდენიმე უძველესი გეომეტრიული ამოცანა გადაჭრა, მათ შორის ფარგლისა და სახაზავის მეშვეობით წრეწირის კვადრატურის პრობლემა.

1900 წელს დავიდ ჰილბერტმა ტრანსცენდენტურ რიცხვებთან დაკავშირებული ცნობილი ამოცანა შემოგვთავაზა, რომელიც ამავდროულად ჰილბერტის მეშვიდე პრობლემა იყო: თუ a ალგებრული რიცხვია ისეთი, რომ a≠0 და a≠1, b კი — ირაციონალური ალგებრული რიცხვი, მაშინ a^b აუცილებლად ტრანსცენდენტურია? ამ კითხვას დადებით პასუხი 1934 წელს გელფონდ–შნაიდერის თეორემამ გასცა.

ტრანსცენდენტური რიცხვების სიმრავლე უსასრულო და არათვლადია. ამის დამტკიცება მარტივია: რახან მთელკოეფიციენტებიანი მრავალწევრების რაოდენობა თვლადია, და რახან თითოეულ მრავალწევრს ამონახსნთა სასრული რაოდენობა აქვს, ალგებრულ რიცხვთა სიმრავლეც თვლადი უნდა იყოს. მაგრამ გეორგ კანტორმა დაამტკიცა, რომ ნამდვილი რიცხვების (და, შესაბამისად, კომპლექსური რიცხვების) სიმრავლე არათვლადია; მაშასადამე, ტრანსცენდენტური რიცხვების სიმრავლეც არათვლადი უნდა იყოს.

არც ერთი რაციონალური რიცხვი არ არის ტრანსცენდენტური და ყველა ნამდვილი ტრანსცედენტური რიცხვი ირაციონალურია. თუმცა ზოგი ირაციონალური რიცხვი არაა ტრანსცენდენტური. მაგალითად, 2-ის კვადრატული ფესვი ირაციონალურია, თუმცა არაა ტრანსცენდენტური (რადგან x² − 2 = 0 მრავალწევრის ამონახსნია).

ნებისმიერი არამუდმივი ერთცვლადიანი ალგებრული ფუნქცია ტრანსცენდენტური არგუმენტისთვის ტრანსცედენტურ მნიშვნელობას იღებს. მაგალითად, რახან π ტრანსცენდენტურია, რიცხვები 5π, (π − 3)/√2, (√π − √3)⁸ და (π⁵ + 7)^1/7 ასევე ტრანსცენდენტური უნდა იყოს.

თუმცა, მრავალცვლადიანმა ალგებრულმა ფუნქციამ ტრანსცენდენტური არგუმენტებისთვის შეიძლება ალგებრული რიცხვი მოგვცეს, თუ ეს რიცხვები ალგებრულად დამოუკიდებელი არაა. მაგალითად, π და 1 − π ორივე ტრანსცენდენტურია, მაგრამ π + (1 − π) = 1, ცხადია, ალგებრულია. უცნობია, ტრანსცენდენტურია თუ არა π+e ან πe, თუმცა ვიცით, რომ მათგან ერთ-ერთი მაინცაა ტრანსცენდენტური. ზოგადად, ორი ტრანსცენდენტური რიცხვისთვის a და b, რიცხვებიდან a + b და ab ერთ-ერთი მაინც უნდა იყოს ტრანსცენდენტური. ამის დასანახად, განვიხილოთ მრავალწევრი (x − a) (x − b) = x² − (a + b)x + ab. თუ (a + b) და ab ორივე ალგებრულია, მაშინ ამ მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტი ალგებრულია. რახან ალგებრული რიცხვები ალგებრულად ჩაკეტილ ველს ქმნიან, გამოდის, რომ მრავალწევრის ფესვები a და b ალგებრული რიცხვებია. ეს ეწინააღმდეგება დაშვებას, ანუ კოეფიციენტებიდან ერთ-ერთი მაინც უნდა იყოს ტრანსცენდენტური.

ლიუვილის ყველა რიცხვი ტრანსცენდენტურია; თუმცა, ყველა ტრანსცენდენტური რიცხვი არაა ლიუვილის რიცხვი. e-ს უსასრულო წილადის ჩანაწერიდან ჩანს, რომ ის არ არის ლიუვილის რიცხვი. კურტ მალერმა 1953 წელს აჩვენა, რომ არც π-ია ლიუვილის რიცხვი.

ტრანსცენდენტური რიცხვებია:

• e^a თუ a ალგებრულია და არ უდრის ნულს (ლინდემან ვაიერშტრასის თეორემის თანახმად), და, ცხადია, თავად e;
• π (ლინდემან ვაიერშტრასის თეორემის თანახმად);
• e^π, გელფონდის მუდმივა, ასევე e^-π/2=iⁱ (გელფონდ–შნაიდერის თეორემის თანახმად);
• a^b, სადაც a ალგებრული რიცხვია ისეთი, რომ a≠0 და a≠1, b კი — ირაციონალური ალგებრული რიცხვი (გელფონდ–შნაიდერის თეორემის თანახმად), კერძოდ:
  • ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ , გელფონდ-შნაიდერის მუდმივა (ჰილბერტის რიცხვი);
  • iⁱ - წარმოსახვითი ერთეული საკუთარი თავის ხარისხად [2].
• ტრიგონომეტრიული ფუნქციების: სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის, სეკანსის, კოსეკანსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები ნებისმიერი არანულოვანი არგუმენტისთვის (ლინდემან-ვაიერშტრასის თეორემის თანახმად);
• ln(a), თუ a ალგებრულია და არ უდრის 0-ს ან 1-ს (ლინდემან-ვაიერშტრასის თეორემის თანახმად);
• Γ(1/3), Γ(1/4), და and Γ(1/6);
• 0.12345678910111213141516...;
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };}$  სადაც ${\displaystyle \beta >1}$  და ${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$  მთელი ნაწილის ფუნქციაა.

რიცხვები, რომელთა სტატუსი უცნობია:

• π-ისა და e-ს ჯამები, ნამრავლები, ხარისხები და სხვ. (e^π-ის გარდა): π+e, π − e, π·e, π/e, π^π, e^e, π^e;
• ეილერ–მასკერონის მუდმივა γ (უცნობია, ირაციონალურია თუ არა);
• კატალანის მუდმივა (უცნობია, ირაციონალურია თუ არა);
• აპერის მუდმივა, ζ(3) და ζ(2n + 1) ნებისმიერი მთელი n-ისთვის (იხ. რიმანის ზეტა ფუნქცია);
• ფეიგენბაუმის მუდმივები ${\displaystyle \delta }$  და ${\displaystyle \alpha }$ .