Bilangan Transenden

Dengan kata lain, bilangan transendental adalah bilangan yang bukan merupakan akar dari polinomial tak-nol dengan koefisien-koefisien rasional. Contoh terkenal dari bilangan transenden adalah π dan e.

Hanya ada sedikit kelompok bilangan transenden yang diketahui; sebagian alasannya karena dapat sangat sulit untuk menunjukkan bahwa suatu bilangan termasuk transenden. Walaupun demikian, bilangan transenden tidak langka. Malahan, hampir semua bilangan real dan kompleks bersifat transenden, karena himpunan bilangan aljabar terhitung sedangkan himpunan bilang real (dan kompleks) merupakan himpunan tak terhitung, yang lebih besar daripada semua himpunan terhitung. Semua bilangan transenden merupakan bilangan irasional, karena semua bilangan rasional merupakan bilangan aljabar. Akan tetapi, kebalikan dari pernyataan itu tidak benar, yang mengatakan bahwa tidak semua bilangan irasional merupakan transenden. Sebagai contoh, akar kuadrat dari 2 merupakan bilangan irasional, namun bukan transenden karena bilangan tersebut adalah akar dari persamaan polinomial x² − 2 = 0. Rasio emas (disimbolkan dengan ${\displaystyle \varphi }$ atau ${\displaystyle \phi }$) adalah contoh lain bilangan irasional yang bukan transenden, karena ia merupakan akar dari persamaan x² − x − 1 = 0.

Ada beberapa bilangan-bilangan yang terbukti sebagai bilangan transenden. Bilangan-bilangan tersebut di antaranya adalah:

• e^a apabila a adalah bilangan aljabar sekaligus tak nol. Ini dapat dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass.
• π, dibuktikan dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass.
• e^π, yang dikenal sebagai konstanta Gelfond, dan juga e^−π/2 = iⁱ. Bilangan ini dibuktikan menggunakan teorema Gelfond–Schneider.
• a^b dengan a bilangan aljabar tetapi tidak sama dengan 0 atau 1, dan b bilangan irasional. Bilangan ini dibuktikan dengan menggunakan teorema Gelfond–Schneider. Pada bentuk tersebut, terdapat bilangan yang istimewa, yaitu 2^√2, dikenal sebagai konstanta Gelfond–Schneider (atau bilangan Hilbert).
• Fungsi trigonometri sin a, cos a, tan a, csc a, sec a, dan cot a, beserta fungsi hiperboliknya, untuk sebarang bilangan aljabar tak nol a, yang dinyatakan dalam satuan radian. Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass.

• Teori bilangan transenden, teori yang mengkaji masalah yang berkaitan dengan bilangan transenden.