Numerus Transcendens

Sit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ numerus transcendens. Tunc nullus est ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace }$ et nulli sunt ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} \ (0\leq i\leq n-1)}$, ut ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}\cdot x^{i}}+x^{n}=0}$ sit.

Confirmatum est certos numeros transcendentes esse possunt per argumenta anno millesimo octigentesimo quadragesimo quarto ab Iosepho Liouville facta, qui genus numerorum transcendentum (Liouville numeri) construxit; inter his Liouville constans est:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots }$

Exempla:

• Numeri π et e et omnes numeri cum eis multiplicati sunt transcendentes (ad demonstrationem videndam).

Functio transcendentalis est functio quae non est algebraica; functio algebraica est polynomium vel ratio polynomiorum vel alia functio ex potestatibus rationalibus facta. Functiones exponentialis, logarithmetica, trigonometricae, hyperbolicae et gamma sunt exempla. Si ${\displaystyle f(x)}$ est functio algebraica, et x est numerus algebraicus, tunc valor ${\displaystyle y=f(x)}$ est numerus algebraicus; si x est numerus transcendentalis, f(x) potest etiam transcendentalis esse. Attamen si ${\displaystyle f(x)}$ est functio transcendentalis, ${\displaystyle y=f(x)}$ potest numerus transcendentalis vel numerus algebraicus esse: sin(π) = 1 (x est numerus transcendentalis, y est numerus algebraicus), et sin(1) ≈ .8414709848 (x est numerus algebraicus, y est numerus transcendentalis). Omnes numeri transcendentes sunt irrationales.