Transcenda Nombro

La plej elstaraj ekzemploj de transcendaj nombroj estas π kaj la bazo de la naturaj logaritmoj e. Nur kelkaj klasoj de transcendaj nombroj estas sciataj. Povas esti ege malfacile montri ke iu donita nombro estas transcenda.

Tamen, transcendaj nombroj estas ne maloftaj, preskaŭ ĉiuj reelaj kaj kompleksaj nombroj estas transcendaj, pro tio ke la algebraj nombroj estas kalkuleblaj, sed aro de transcendaj nombroj estas nekalkulebla malfinio. La pruvo estas simpla. Pro tio ke la polinomoj kun entjeraj koeficientoj estas kalkuleblaj, kaj pro tio ke ĉiu ĉi tia polinomo havas finian kvanton de radikoj, la algebraj nombroj estas kalkuleblaj. Sed diagonala argumento de Cantor pruvas ke reelaj nombroj (kaj pro tio ankaŭ kompleksaj nombroj) estas nekalkuleblaj, do aro de ĉiuj transcendaj nombroj estas nekalkulebla.

Ĉiu (reela) transcenda nombro estas neracionala nombro, pro tio ke ĉiu racionala nombro estas algebra nombro. La malo ne estas vera, ne ĉiu neracionala nombro estas transcenda. Ekzemple, kvadrata radiko de 2 estas neracionala, sed ĝi estas radiko de polinomo x²-2, tiel ĝi ne estas transcenda.

Ĉiu ne-konstanta algebra funkcio de unu variablo redonas transcendan valoron kiam estas aplikata al transcenda argumento. Tiel ekzemple, de tio ke π estas transcenda sekvas ke nombroj π-1,2π, (π+1)√2, (√π+√3)^1/8 kaj (π⁴-4)⁶ estas transcendaj.

Tamen, algebra funkcio de kelkaj variabloj povas redoni algebran nombron kiam estas aplikata al transcendaj nombroj se ĉi tiuj nombroj estas ne algebre sendependa. Ekzemple, π kaj 2-π estas ambaŭ transcendaj, kaj por algebra funkcio f(v, w)=v+w kiam ĝi estas aplikata al ĉi tiuj nombroj la rezulto estas 'f(π, 2-π) = π + (2-π) = 2 kiu estas algebra nombro.

Por ĉiuj du transcendaj nombroj a kaj b, almenaŭ unu el a+b kaj ab devas esti transcenda. Por vidi ĉi tion, konsideru polinomon (x-a)(x-b) = x² - (a+b)x + ab. Se a+b kaj ab estis ambaŭ algebraj, do ĉi tiu polinomo estas kun ĉiuj algebraj koeficientoj. Ĉar algebraj nombroj formas algebre fermitan kampon, ĉi tio enhavas ke la radikoj de la polinomo a kaj b, estas algebraj. Sed ĉi tiu estas kontraŭdiro, kaj tial devas esti ke almenaŭ unu el la koeficientoj estas transcenda. Ekzemple estas nekonate ĉu π+e aŭ πe estas transcenda, kvankam almenaŭ unu el π+e kaj πe devas esti transcenda.

Ĉiu ne-komputebla nombro estas ankaŭ transcenda ĉar ĉiu algebra nombro estas komputebla.

Ĉiu nombro de Liouville estas transcenda; tamen, ne ĉiu transcenda nombro estas nombro de Liouville. Ĉiu nombro de Liouville devas havi nebaritajn partajn kvocientojn en ĝia ĉenfrakcia elvolvaĵo. Uzante kalkuladan argumenton eblas montri ke ekzistas transcendaj nombroj kiuj havas baritajn partajn kvocientojn kaj do ne estas nombroj de Liouville.

Uzanta la eksplicitan ĉenfrakcian elvolvaĵon de e, eblas montri ke e ne estas nombro de Liouville (kvankam la partaj kvocientoj en ĝia ĉenfrakcia elvolvaĵo estas nebaritaj). Kurt Mahler montris en 1953 ke ankaŭ π ne estas nombro de Liouville. Estas konjekto ke ĉiu malfinia ĉenfrakcio kun baritaj termoj kiu estas ne eble perioda estas transcenda (eble periodaj ĉenfrakcioj estas konformaj laŭ kvadrataj malracionaloj).

• e
• e^a se a estas algebra kaj nenulo (per la teoremo de Lindemann-Weierstrass)
• π (per la teoremo de Lindemann-Weierstrass, vidu artikolon Ferdinand von Lindemann)
• e^π, konstanto de Gelfond, kaj ankaŭ e^-π/2=iⁱ (per la teoremo de Gelfond-Schneider)
• a^b kie a estas ne-nula algebra kaj b estas malracionala algebra (per la teoremo de Gelfond-Schneider), aparte:
  • ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ , la konstanto de Gelfond-Schneider (hilberta nombro, vidu artikolon David Hilbert)
• Sinuso, kosinuso, tangento, kotangento, sekanto, kosekanto de ĉiu nenula algebra nombro (per la teoremo de Lindemann-Weierstrass)
• ln de ĉiu algebra nombro ne egala al 0 aŭ 1, por ĉiu branĉo de la logaritma funkcio (per la teoremo de Lindemann-Weierstrass)
• Γ(1/6), Γ(1/4), Γ(1/3)
• Konstanto de Prouhet-Thue-Morsa
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };}$  kie ${\displaystyle \beta >1}$  kaj ${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$  estas la planka funkcio
• Konstanto de Champernowne 0,12345678910111213141516...
• Ω, konstanto de Chaitin (pro tio ke ĝi estas nekomputebla nombro)

• Sumoj produtoj, potencoj kaj tiel plu (krom konstanto de Gelfond) de nombro π kaj nombro e: π+e, π-e, π·e, π/e, π^π, e^e, π^e
• Konstanto de Eŭlero-Mascheroni γ (kiu eĉ ne estas pruvita al esti neracionala)
• Konstanto de Apéry, ζ(3), kaj fakte ζ(2n+1) por ĉiu pozitiva entjero n.
• Konstanto de Catalan (ankaŭ ne sciata al esti neracionala)

Konjektoj:

• Konjekto de Schanuel

Eŭlero estis verŝajne ne la unua persono kiu difinis transcendajn nombrojn en la moderna senco. La nomo "transcendaj" venas de Leibniz de lia 1682 papero kie li pruvis ke sin(x) ne estas algebra funkcio de x. Joseph Liouville la unua pruvis ekziston de transcendaj nombroj en 1844, kaj en 1851 donis la unuajn ekzemplojn tiaj kiel la nombro de Liouville

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots }$ 

en kiu ĉiu n-a cifero post la dekuma komo estas 1 se n estas faktorialo de iu entjero (kio estas, n=1, 2, 6, 24, 120, 720, ...) kaj 0 alie. Liouville montris ke ĉi tiu nombro estas tio kion oni nun nomas kiel nombro de Liouville; ĉi tio esence signifas ke ĝi povas esti aparte bone aproksimita per racionalaj nombroj. Liouville montris ke ĉiu nombro de Liouville estas transcenda.

Johann Heinrich Lambert konjektis ke e kaj π estis ambaŭ transcendaj nombroj en sia papero de 1761 pruvanta ke nombro π estas neracionala nombro. La unua nombro kiu estis pruvita al esti transcenda kaj kiu ne estis speciale konstruita por esti transcenda estas e, de Charles Hermite en 1873.

En 1874 Georg Cantor trovis la menciitan pli supre oftecon de transcendaj nombroj.

En 1882 Ferdinand von Lindemann publikigis pruvon ke la nombro π estas transcenda. Li unue montris ke e en ĉiu nenula algebra estas transcenda, kaj pro tio ke e^iπ = -1 estas algebra (vidu en eŭlera idento), iπ kaj pro tio π devas esti transcenda. Ĉi tiu maniero estis ĝeneraligita de Karl Weierstrass al la teoremo de Lindemann-Weierstrass. La transcendeco de π permesis pruvon de neebleco de kelkaj antikvaj geometriaj konstruoj per cirkelo kaj liniilo, inkluzivante la plej faman kvadratigon de cirklo.

En 1900, David Hilbert starigis demandon pri transcendaj nombroj, hilbertan sepan problemon: se a estas algebra nombro, ne egala al 0 kaj 1, kaj b estas neracionala algebra nombro, ĉu a^b estas nepre transcenda? La jesa respondo estis donita en 1934 per teoremo de Gelfond-Schneider. Ĉi tiu laboro estis etendita de Alan Baker en la 1960-aj jaroj en lia laboro pri subaj baroj por linearaj formoj en ĉiu kvanto da logaritmoj de algebraj nombroj.

La unua pruvo ke e estas transcenda datiĝas de 1873. Ĉi tie estas uzata la strategio de David Hilbert kiu donis plisimpligon de la originala pruvo de Charles Hermite. La ideo estas jena:

Alpreni, por celo de trovo de kontraŭdiro, ke e estas algebra. Tiam ekzistas finia kvanto de entjeraj koeficientoj ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n},}$  tiaj ke:

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0}$ 

kaj tia ke ${\displaystyle c_{0}}$  kaj ${\displaystyle c_{n}}$  estas ambaŭ ne nulaj.

Dependanta de la valoro de n, oni precizigi sufiĉe grandan pozitivan entjeron k (al verigi bezonoj poste priskribitajn), kaj multipliku ambaŭ flankojn de la pli supra ekvacio per ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }}$ , kie la skribmaniero ${\displaystyle \int _{a}^{b}}$  estos esti uzita en ĉi tiu pruvo kiel mallonga notacio por integralo:

${\displaystyle \int _{a}^{b}:=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx}$ 

Rezultiĝas la ekvacio:

${\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0}$ 

kiu povas nun esti skribita en formo

${\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\;}$ 

kie

${\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }}$ 
${\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}}$ 

La plano de atako nun estas al montri ke por sufiĉe granda k, la pli supraj rilatoj estas neeblaj al kontentigi ĉar

${\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}}$  estas ne-nula entjero kaj ${\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}}$  ne estas.

La fakto ke ${\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}}$  estas nenula entjero rezultiĝas de la rilato

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}$ 

kiu estas valida por ĉiu pozitiva entjero j kaj povas esti pruvita per poparta integralado kaj matematika indukto.

Al montri ke

${\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1}$  por sufiĉe granda k

oni konstruu funkcion ${\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}}$ , notanta ke ĝi estas produto de funkcioj ${\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}}$  kaj ${\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}}$ . De superaj baroj por ${\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|}$  kaj ${\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|}$  sur la intervalo [0, n] kaj tion ke

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0}$  por ĉiu reela nombro G

rezultiĝas la dezirata rilato.

Simila strategio, malsama de originala maniero de Lindemann, povas esti uzata por montri ke nombro π estas transcenda. Krom la gamo-funkcio kaj iuj pritaksoj kiel en la pruvo por e, faktoj pri simetriaj polinomoj ludas gravan rolon en la pruvo.

• Transcenda teorio, la studo de demandoj rilatantaj al transcendaj nombroj
• Algebra nombro
• Racionala nombro
• Neracionala nombro
• Nombro de Liouville
• Algebra funkcio
• Hilberta sepa problemo
• Teoremo de Lindemann-Weierstrass
• Teoremo de Gelfond-Schneider

• Pruvo ke e estas transcenda Arkivigite je 2011-08-15 per la retarkivo Wayback Machine
• Pruvo ke e estas transcenda Arkivigite je 2011-07-16 per la retarkivo Wayback Machine
• Pruvo ke π estas transcenda Arkivigite je 2011-07-16 per la retarkivo Wayback Machine