Երկրաչափական Պրոգրեսիա

${\displaystyle b_{1}\not =0}$, ${\displaystyle q\not =0}$։ ${\displaystyle b_{1},\ b_{2}=b_{1}q,\ b_{3}=b_{2}q,\ \ldots ,\ b_{n}=b_{n-1}q}$

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ ստացվում է հետևալ բանաձևի միջոցով՝

${\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad }$ 

Եթե ${\displaystyle b_{1}>0}$  և ${\displaystyle q>1}$ , պրոգրեսիան կոչվում է աճող, իսկ ${\displaystyle 0$  դեպքում՝ նվազող, իսկ ${\displaystyle q=1}$  —ի դեպքում հաստատուն

Պրոգրեսիայի անվանումը կապված է միջին երկրաչափականի հետ (յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նույն «հեռավորության» վրա գտնվող նախորդ և հաջորդ անդամների միջին երկրաչափականին)՝

${\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-k}b_{n+k}}},}$ 

• ${\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\pi }$  — երկրաչափական պրոգրեսիա 1 հայտարարով (և թվաբանական պրոգրեսիա 0 տարբերությամբ)
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — անվերջ նվազող պրոգրեսիա -½ հայտարարով
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — տասներեք անդամներից բաղկացած պրոգրեսիա 2 հայտարարով

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների լոգարիթմները (եթե որոշված են) կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։

Ապացույց.

Դիցուք ${\displaystyle w_{n}}$ -ը հաջորդականություն է՝ ${\displaystyle w_{n}=\log _{p}b_{n}\ }$ 

${\displaystyle \forall n>1\quad {\frac {w_{n-1}+w_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{n-1}+\log _{p}b_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{1}q^{n-2}+\log _{p}b_{1}q^{n}}{2}}={\frac {\log _{p}(b_{1}^{2}q^{2n-2})}{2}}={\frac {2\cdot \log _{p}b_{1}q^{n-1}}{2}}=\log _{p}b_{n}=w_{n}\ }$ 
Ստացված հարաբերակցությունը բնորոշ է թվաբանական պրոգրեսիային.

• ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i},i$ 

Ապացույց.

${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}}$ 

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների արտադրյալը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
• ։ ${\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}}$ ,

Ապացույց.

${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b_{1}b_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b_{1}b_{n})^{\frac {n}{2}}}$ 

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին ${\displaystyle n}$  անդամների գումարը՝
• ։ ${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}q^{n}-b_{1}}{q-1}}={\frac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}$ 

Ապացույց.

• Գումարի միջոցով՝
• ։ ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}\Rightarrow }$ 

։ ${\displaystyle \Rightarrow (1-q)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$ 

• Եթե ${\displaystyle \left|q\right|<1}$ , ապա ${\displaystyle b_{n}\to 0}$  երբ ${\displaystyle n\to +\infty }$ , և
• ։ ${\displaystyle S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}}$  այն դեպքում երբ ${\displaystyle n\to +\infty }$ .

• Թվաբանական պրոգրեսիա
• Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)