Միջին Երկրաչափական

${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}}$։

Երկու թվերի միջին երկրաչափականը կոչվում է նաև «միջին համամասնական», քանի որ երկու ${\displaystyle a_{1}}$ և ${\displaystyle a_{2}}$ թվերի ${\displaystyle g}$ միջին երկրաչափականը օժտված է հետևյալ հատկությամբ․ ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}}$, այսինքն․ միջին երկրաչափականը հարաբերվում է առաջին թվին այնպես, ինչպես երկրորդ թիվը միջին երկրաչափականին։

• ինչպես ցանկացած միջին արժեք՝ միջին երկրաչափականը ընկած է այդ թվերի մեծագույն և փոքրագույն արծեքների միջև․

${\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ 

• Երկու ${\displaystyle a=A_{0},b=G_{0}}$  թվերի միջին երկրաչափականը այդ թվերի միջին թվաբանական- հարմոնիկն է, այսինքն հավասար է երկու հաջորդականությունների սահմանին․

${\displaystyle A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2}},\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{i-1}}}}$ 

• երկու թվերի միջին երկրաչափականը հավասար է այդ թվերի միջին թվաբանականի և միջին հարմոնիկի միջին եկլրաչափականին։

Կշռված երկրաչափական միջինը իրական թվերի ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$  խմբի համար ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$  իրական զանգվածներով որոշվում է հետևյալ կերպ․

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)}$ 

Այն դեպքում, երբ բոլոր զանգվածները իրար հավասար են, կշռված երկրաչափական միջինը հավասար է միջին երկրաչափականին։

 

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին իջեցրած բարձրությունը հավասար է ներքնաձիգի վրա էջերի պրոյեկցիաների միջին երկրաչափականին։ Իսկ յուրաքանչյուր էջ հավասար է ներքնաձիգի և նրա վրա այդ էջի պրոյեկցիայի միջին երկրաչափականին։ Սա հնարավորություն է տալիս երկրաչափորեն կառուցելու երկու հատվածների միջին երկրաչափականը․ հարկավոր է կառուցել շրջանագիծ, որի տրամագիծը այդ երկու հատվածների գումարն է, իսկ հատվածների միացման կետում կանգնեցված ուղղահայացը մինչև շրջանագծի հետ հատումը կլինի որոնելի մեծությունը Մինչև գնդի հորիզոն հեռավորությունը հավասար է գնդի ամենամոտ և ամենահեռու կետերի հեռավորությունների միջին երկրաչափականին։

Երկրաչափական միջինը ժամանակ առ ժամանակ օգտագործվել է ֆինանսական ցուցանիշները հաշվարկելու համար (միջին ցուցանիշը գերազանցում է ինդեքսի բաղադրիչները)։ Օրինակ ՝ նախկինում FT 30 ինդեքսը օգտագործում էր երկրաչափական միջակայք։ Այն նաև օգտագործվում է Միացյալ Թագավորությունում և Եվրոպական Միությունում վերջերս ներդրված « RPIJ » գնաճի չափման մեջ։ Սա ազդեցություն է թողնում ցուցանիշի վրա շարժվող շարժումների ազդեցությանը `թվաբանության միջին օգտագործման համեմատությամբ։

Դրական թվերի ոչ դատարկ տվյալների հավաքածուի երկրաչափական միջինը միշտ առավելագույնը դրանց թվաբանական միջինն է։ Հավասարությունը ձեռք է բերվում միայն այն դեպքում, երբ տվյալների ամբողջ շարքում բոլոր համարները հավասար են. հակառակ դեպքում երկրաչափական միջինը փոքր է։ Օրինակ․ 242-ի և 288-ի երկրաչափական միջին ցուցանիշը հավասար է 264-ին, մինչդեռ դրանց թվաբանական միջինը 265 է։ Մասնավորապես, սա նշանակում է, որ երբ ոչ միանման թվերի մի շարք ենթակա է միջին պահպանման տարածման , այսինքն ` հավաքածուն իրարից ավելի «տարածվում» է, իսկ թվաբանական միջինը թողնելով անփոփոխ ՝ դրանց երկրաչափական միջին քանակը նվազում է։

• Միջին երկրաչափականը կարելի է դիտարկել որպես միջին աստիճաննայինների սահման․

${\displaystyle A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}}$  при ${\displaystyle g\to 0}$ .

• Միջին երկրաչափականը հանդիսանում է Կալմագորովի միջին երբ ${\displaystyle \phi (x)=\log x}$ ։

• Երկրաչափական պրոգրեսիա
• Երկրաչափական համամասնություն
• Շվեյցերի անհավասարում