Geometria Meznombro: La n-a radiko de la produto de n nombroj

Geometria meznombro de n pozitivaj reelaj nombroj nombroj x₁, x₂, ..., x_n estas n-a radiko de ilia produto:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$

Geometria meznombro estas simila al la aritmetika meznombro (averaĝo), sed anstataŭ adiciado, de la nombroj ili estas multiplikitaj; anstataŭ dividado de la sumo per kvanto n de la nombroj, de la produto estas prenata la n-a radiko.

La geometria meznombro nur aplikatas al pozitivaj nombroj por eviti prenon de radiko de negativa produto, kio povas rezulti je kompleksa nombro, kio kutime ne konvenas al esti konsiderata kiel meznombro. La sekve donitaj propraĵoj rilatas nur al ĉi tiu okazo de pozitivaj nombroj.

Ekzemple, la geometria meznombro de 2 kaj 8, estas ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}$, dum kiam ilia aritmetika meznombro estas ${\displaystyle {\frac {2+8}{2}}=5}$. Por nombroj 2, 2, 5, 7 la geometria meznombro estas ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}}\approx 3,44}$, dum kiam ilia aritmetika meznombro estas ${\displaystyle {\frac {2+2+5+7}{4}}=4}$.

Geometria meznombro estas ĉiam inter minimumo kaj maksimumo de la datumaro:

${\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

kie la egalecoj estas se kaj nur se ĉiuj membroj de la datumaro estas egalaj inter si.

Estas la neegalaĵo de aritmetika kaj geometria meznombroj, kiu statas ke geometria meznombro de datumaro estas malpli granda ol aŭ egala al aritmetika meznombro de la datumaro. Ankaŭ, por ĉiu datumaro, la geometria meznombro estas pli granda ol aŭ egala al la harmona meznombro de la datumaro. La ĉiuj tri meznombroj estas inter si egalaj se kaj nur se ĉiuj membroj de la datumaro estas egalaj inter si.

Geometria meznombro de datumaro egalas al eksponento de aritmetika meznombro de naturaj logaritmoj de la datumaro:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}\right)}$

ĉar per uzo de logaritmoj por konverti la formulon, oni povas esprimi la produton kiel sumo. Alivorte, geometria meznombro estas la aritmetika meznombro en la logaritma skalo.

Tiel geometria meznombro estas la ĝeneraligita funkcia meznombro kun logaritmo kiel la funkcio, f(x) = ln x.

La geometria meznombro de du nombroj estas ankaŭ la aritmetiko-harmona meznombro en la senco ke se du vicoj (a_n) kaj (h_n) estas difinitaj kiel

a₀=x
h₀=y

kaj por n>0

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}}}$
${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}}$

tiam ambaŭ a_n kaj h_n konverĝas al la geometria meznombro de x kaj y.

La geometria meznombro povas esti komprenita per geometrio.

La geometria meznombro de du nombroj a kaj b estas longo de latero de kvadrato kies areo estas egala al areo de ortangulo kun longoj de lateroj a kaj b. Simile, geometria meznombro de tri nombroj a, b kaj c estas longo de latero de kubo kies volumeno estas la sama kiel volumeno de briko kun longoj de lateroj a, b kaj c.

En ortangula triangulo, longo de alto al la hipotenuzo egalas al geometria meznombro de longoj de ortaj projekcioj de la katetoj al la hipotenuzo. Longo de ĉiu el la katetoj egalas al geometria meznombro de longo de la hipotenuzo kaj longo de orta projekcio de la katetoj al la hipotenuzo.

${\displaystyle BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}}$

Ĉi tio donas manieron konstrui geometrian meznombron de longoj de du strekoj per cirkelo kaj liniilo.

• Konstrui unu strekon kaj najbare la alian tiel ke ili intertuŝiĝu per unu fino kaj estas sur unu rekto.
• Konstrui cirklon tiel ke la du strekoj kune estas la diametro.
• Konstrui perpendikularon al la du strekoj en punkto kie ili intertuŝiĝas.

Tiam distanco inter punkto kie la du strekoj intertuŝiĝas kaj punkto de intersekco de la perpendikularo kun la cirklo (iu ajn el la du ĉi tiaj punktoj) egalas al la geometria meznombro.

• Aritmetika meznombro
• Mediano (statistiko)
• Aritmetiko-geometria meznombro - miksaĵo de ili kiu ĉiam kuŝas inter ili.
• Pondita geometria meznombro
• Harmona meznombro
• Kvadrata averaĝo
• Ĝeneraligita meznombro
• Ĝeneraligita funkcia meznombro
• Neegalaĵo pri aritmetika kaj geometria meznombroj
• Centra dispozicio
• Geometria norma diferenco, geometria varianca devio
• Hiperbolaj koordinatoj
• Logaritmo-normala distribuo
• Neegalaĵo de Muirhead

• Kalkulo de la geometria meznombro de du nombroj en komparo al la aritmetika solvaĵo
• Aritmetika kaj geometria meznombroj je tranĉi-la-nodon
• Geometria signifo de geometria meznombro je tranĉi-la-nodon
• Kiam al uzi la geometrian meznombron
• Praktikaj solvaĵoj por kalkulado de geometria meznombro kun malsamaj specoj de datumoj Arkivigite je 2010-11-12 per la retarkivo Wayback Machine
• Eric W. Weisstein, Geometria meznombro en MathWorld.
• Kalkulilo de geometria meznombro
• Kalkulilo de geometria meznombro por pli grandaj datumaroj
• Meza proporcia Arkivigite je 2010-02-01 per la retarkivo Wayback Machine