Մաթեմատիկա Հաշվարկման Համակարգ
Հաշվարկման համակարգ մաթեմատիկայում անվանում են թվերի գրության և ներկայացման կանոնների համախումբը։ Նշանները, որոնք օգտագործվում են հաշվարկման համակարգում անվանում են թվանշաններ։ Հաշվարկման համակարգը կարելի է ներկայացնել երկու ձևով՝ ոչ դիրքային և դիրքային։
Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Հաշվարկման համակարգ (այլ կիրառումներ)
Ոչ դիրքային համակարգ
Ոչ դիրքային համակարգում թվերի գրառման մեջ թվանշանների դիրքից կախված չէ նրա մեծությունը։ Ոչ դիրքային համակարգի օրինակներից է հռոմեական համակարգը (հռոմեական թվեր)։ Հռոմեական համակարգում թվանշանների փոխարեն օգտագործում են լատինական տառերը՝ I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000։
Օրինակ 1։ CCCXXI թիվը կազմված է երեք հարյուրակից, երկու տասնյակից և մեկ միավորից՝ 321։ Հռոմեական թվերում թվանշանները գրվում են ձախից աջ՝ նվազման կարգով։ Այս դեպքում նրանց արժեքները գումարվում են։ Եթե ձախից գրված է փոքր թիվ, իսկ աջում՝ մեծ, ապա նրանց արժեքները հանվում են։
Օրինակ 2։ CX = 100 + 10 = 110, իսկ XC = 100 – 10 = 90։
Օրինակ 3։ MCMXCVI = 1000 + (1000-100) + (100 - 10) + 5 + 1 = 1996։
Դիրքային համակարգ
Հաշվարկման դիրքային համակարգում թվերի գրության մեջ օգտագործվող թվանշանի արժեքը կախված է նրա դիրքից։ Թվերի գրառման մեջ օգտագործվող թվանշանների քանակը անվանում են հաշվարկման դիրքային համակարգի հիմք, իսկ թվանշանները՝ այբուբեն։
Հաշվարկման համակարգը, որն օգտագործվում է ժամանակակից մաթեմատիկայում, հանդիսանում է դիրքային տասական համակարգը։ Նրա հիմքը հավասար է 10-ի, քանի որ թվերի գրառման ժամանակ օգտագործվում են տաս թվանշան՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (արաբական թվանշաններ)։
Այս համակարգի դիրքայնությունը հեշտ է հասկանալ ցանկացած բազմանիշ թվի գրառության վրա։ Օրինակ, 547 թվում առաջին թվանշանը նշանակում է հինգ հարուրյակ, երկրորդը՝ չորս տասնյակ, երրորդը՝ յոթ միավոր։
Այժմ դիտարկենք հաշվարկման դիրքային համակարգը, որոնց հիմքը N է։ Սա նշանակում է, որ տվյալ դիրքային համակարգում թվերի գրառման ժամանակ օգտագործվում է N թվանշան։ Սովորաբար, երբ N<10, օգտագործվում են արաբական թվանշանները, իսկ N>10 դեպքում արաբական թվանշաններին ավելացնում են լատինական տառերը։ Բերենք հաշվարկման դիրքային համակարգերի օրինակներ՝ իրենց այբուբենով.
| Հիմքը | անվանումը | այբուբենը |
|---|---|---|
| 2 | երկուական | 0,1 |
| 3 | երեքական | 0,1,2 |
| 7 | յոթական | 0,1,2,3,4,5,6 |
| 10 | տասական | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
| 16 | տասնվեցական | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |
Եթե թվի գրառությունում պետք է նշել հաշվարկման համակարգի հիմքը, ապա այն գրվում է այդ թվի ներքևի ինդեքսում՝ 10112, 6057, 8A0BF16։
Օրինակ 4։ Գրենք առաջին 17 թվերը 2-ական և 7-ական հաշվարկման համակարգերում։
| Տասական | երկուական | յոթական |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 |
| 3 | 11 | 3 |
| 4 | 100 | 4 |
| 5 | 101 | 5 |
| 6 | 110 | 6 |
| 7 | 111 | 10 |
| 8 | 1000 | 11 |
| 9 | 1001 | 12 |
| 10 | 1010 | 13 |
| 11 | 1011 | 14 |
| 12 | 1100 | 15 |
| 13 | 1101 | 16 |
| 14 | 1110 | 20 |
| 15 | 1111 | 21 |
| 16 | 10000 | 22 |
| 17 | 10001 | 23 |
P հիմքով հաշվարկման համակարգում (P-ական համակարգ) թվի գրառման ընդլայնված ձև կոչվում է գրառումը, որն ունի այսպիսի տեսք՝
AP=±(an-1Pn-1+an-2Pn-2+ . . . +a0P0+a-1P−1+ . . . +a-mP-m),
որտեղ AP հենց ինքը՝ թիվն է, P–ն հաշվարկման համակարգի հիմքն է, ai–ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվանշաններն են, n-ը՝ թվի ամբողջ մասի կարգերի թիվն է, m-ը՝ թվի կոտորակային մասի կարգերի թիվն է։
Օրինակ 5։ Տասական համակարգի 8542 և 72,604 թվերը ներկայացնել ընդլայնված տեսքով։
8542 = 8*103 + 5*102 + 4*101 + 2*100,
72,604 = 7*101 + 2*100 + 6*10−1 +0*10−2 + 4*10−3։
Օրինակ 6։ Ստանալ տարբեր [համակարգերում] գրված 406257, 1101012, 2F3CA16, 110,1012 թվերի ընդլայնված տեսքերը։
406257 = 4*104 + 0*103 + 6*102 + 2*101 + 5*100,
1101012 = 1*10101 + 1*10100 + 0*1011 + 1*1010 + 0*101 + 1*100,
2F3CA16 = 2*104 + F*103 + 3*102 + C*101 + A*100,
110,1012 = 1*1010 + 1*101 + 0*100 + 1*10−1 + 0*10−10 + 1*10−11։
Ուշադրություն դարձրեք, որ ցանկացած հաշվարկման համակարգում նրա հիմքը գրված է 10։
Եթե ոչ տասական համակարգի թվերի ընդլայնված տեսքում բոլոր գումարելիները ներկայացնենք տասական համակարգով, ապա կստանանք տվյալ հաշվարկման համակարգի թվին համապատասխան տասական համակարգի թիվը։ Այս սկզբունքով ոչ տասական համակարգի թիվը բերվում է տասական համակարգի թվի։
Օրինակ 7. [Նախորդ] օրինակում բերված բոլոր թվերը ձևափոխել 10-ական համակարգում։
406257 = 4*74 + 0*73 + 6*72 + 2*71 + 5*70 = 991710,
1101012 = 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 5310,
2F3CA16 = 2*164 + 15*163 + 3*162 + 12*161 + 10*160 = 19271410,
110,1012 = 1*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2−1 + 0*2−2 + 1*2−3 = 6,62510։
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 4, էջ 225)։  |
This article uses material from the Wikipedia Հայերեն article Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա), which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Բովանդակությունը թողարկված է CC BY-SA 4.0 թույլատրագրով, եթե այլ բան նշված չէ։ Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Հայերեն (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.