Transformada De Fourier

Existen diversas variacións directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de función a transformar.

Aplicacións

As transformadas de Fourier teñen moitas aplicacións en disciplinas científicas — en Física, Teoría dos números, Análise combinatoria, Procesamento de sinal, Teoría das probabilidades, Estatística, Criptografía, Acústica, Oceanografía, Óptica, Xeometría e outras áreas. Nos campos relacionados co procesamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor un sinal nas súas compoñentes en frecuencia e as súas amplitudes.

As transformadas son operadores lineares e, coa debida normalización, son tamén unarios (unha propiedade coñecida como o teorema de Parseval ou, máis xeralmente, como o teorema de Plancherel, e máis xeral aínda, a dualidade de Pontryag).
As transformadas son invertíbeis, e a transformada inversa ten case a mesma forma que a transformada.
As funcións de base sinusoidal son funcións de diferenciación, o que implica que esta representación transforma ecuacións diferenciais lineares con coeficientes constantes en ecuacións alxebricas ordinarias. (Por exemplo, nun sistema lineal invariante no tempo, a frecuencia é unha cantidade conservada, logo o comportamento en cada frecuencia pode ser resolvido independentemente.)
A través do teorema de convolución, as transformadas tornan a complicada operación de convolución en multiplicacións simple, o que as torna nun método eficiente de calcular operacións baseadas en convolución, como a multiplicación polinomial e multiplicación de números grandes.
A versión discreta da transformada de Fourier pode calcularse axiña por computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rápida de Fourier.

Transformada continua de Fourier

Xeralmente, a denominación "Transformada de Fourier" reférese á Transformada de Fourier para funcións continuas, que representa calquera función integrábel f(t) como a suma de exponenciais complexas con frecuencia angular ω e amplitude complexa F(ω):

F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt

f(t)={\mathcal {F}}^{-1}(F(\omega ))={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .

Transformada discreta de Fourier

Para uso en computadores, sexa para aplicacións científicas ou en procesamento dixital de sinais, é preciso ter valores $x_{k}$ discretos. Para iso existe a versión da transformada para funcións discretas.

x_{k}={\frac {1}{n}}\sum _{x=0}^{n-1}f_{x}e^{{\frac {2\pi i}{n}}xk}\quad \quad k=0,\dots ,n-1

.

f_{x}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}e^{-{\frac {2\pi i}{n}}xk}\quad \quad x=0,\dots ,n-1

Un método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versión é o algoritmo FFT (fast Fourier transform), cuxo desempeño é O(n log n) contra O(n²) necesarios para o mesmo cálculo, porén pola definición.

Algunhas transformadas de Fourier

$f(t)$	$F(w)$
$\delta (t)\,\!$	$1\,\!$
$\delta (t-a)\,\!$	$e^{-iaw}\,\!$
$u(t)\,\!$	$\pi \delta (w)+{\frac {1}{iw}}\,\!$
$1\,\!$	$2\pi \delta (w)\,\!$
$\operatorname {sgn} (t)\,\!$	${\frac {2}{iw}}\,\!$
$e^{iw_{0}t}\,\!$	$2\pi \delta (w-w_{0})\,\!$
$\cos w_{0}t\,\!$	$\pi (\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0}))\,\!$
$\sin w_{0}t\,\!$	${\frac {\pi }{i}}(\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0}))\,\!$
$\operatorname {rect} (t/a)\,\!$	$a\operatorname {sinc} (wa/2)\,\!$
$\cos(w_{0}t)u(t)\,\!$	${\frac {\pi }{2}}(\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0}))+{\frac {iw}{w_{0}^{2}-w^{2}}}\,\!$
$\sin(w_{0}t)u(t)\,\!$	${\frac {\pi }{2i}}(\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0}))+{\frac {iw}{w_{0}^{2}-w^{2}}}\,\!$
$\operatorname {rect} (t/a)\cos(w_{0}t)\,\!$	${\frac {a}{t}}\left(\operatorname {sinc} {\frac {(w-w_{0})a}{2}}+\operatorname {sinc} {\frac {(w+w_{0})a}{2}}\right)\,\!$
${\frac {b}{\pi }}\operatorname {sinc} (bt)\,\!$	$\operatorname {rect} (w/2b)\,\!$
$e^{-at}u(t),\operatorname {Re} (a)>0\,\!$	${\frac {1}{a+iw}}\,\!$
$1t^{n-1}e^{-at}u(t),\operatorname {Re} (a)>0\,\!$	${\frac {(n-1)!}{(a+iw)^{n}}}\,\!$
$e^{a\|t\|},\operatorname {Re} (a)>0\,\!$	${\frac {2a}{a^{2}+w^{2}}}\,\!$
$e^{-t^{2}}\,\!$	${\sqrt {\pi }}e^{-w^{2}/4}\,\!$
${\frac {1}{\sqrt {\|t\|}}}\,\!$	${\sqrt {\frac {2\pi }{\|w\|}}}\,\!$
${\frac {1}{t^{2}+a^{2}}}\,\!$	${\frac {\pi }{a}}e^{a\|w\|}\,\!$

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

Всё о Mathcad Arquivado 20 de outubro de 2019 en Wayback Machine. Modelo:Ref-ru
Determinación online da transformada ou da inversa da transformada, wims.unice.fr

This article uses material from the Wikipedia Galego article Transformada de Fourier, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Todo o contido está dispoñible baixo a licenza CC BY-SA 4.0, agás que se indique o contrario. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Galego (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.