Пераўтварэньне Фур’е

Тэрмін атрымаў імя францускага матэматыка пачатку XIX стагодзьдзя Жазэфа Фур’е. Пераўтварэньнем Фур’е функцыі f называецца функцыя

${\displaystyle g(u)={\mathcal {F}}[f](u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{iut}\,dt.}$

У некаторых выпадках праўдзіцца формула

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{-iux}\,du}$

— аналяг шэрагу Фур’е. Апошні інтэграл называецца адваротным пераўтварэньнем Фур’е функцыі g і абазначаецца F^-1[g]. Некаторыя апэрацыі з функцыямі пераходзяць пры пераўтварэньні Фур’е ў адпаведныя апэрацыі над іх вобразамі. Напрыклад, калі функцыя f ёсьць згортка функцый f₁ і f₂, гэта значыць:

${\displaystyle f(x)=(f_{1}*f_{2})(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-s)f_{2}(s)\,ds,}$

то ${\displaystyle F[f]=F[f_{1}*f_{2}]=F[f_{1}]F[f_{2}].}$

Пераўтварэньне Фур’е шырока ўжываецца ў пэўных разьдзелах матэматыкі і тэарэтычнай фізыкі.

• Гарманічны шэраг гукаў