Trasformata Ta' Fourier

Fit-teorija tas-sinjali, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.

Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

${\displaystyle {\mathcal {F}}:u\to {\hat {u}}\!}$ 

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet ${\displaystyle u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!}$ :

Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur ${\displaystyle {{1} \over {{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\!}$ .

Eżempji

Jekk ${\displaystyle u(t)=\chi _{[-1,+1]}(t)\!}$ , jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

${\displaystyle {\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\omega t}\chi _{[-1,+1]}(t)\,dt={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{+1}e^{-{\rm {i}}\omega t}\,dt}$ 

${\displaystyle ={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}{\left[{{e^{-{\rm {i}}\omega t}} \over {-{\rm {i}}\omega }}\right]}_{-1}^{+1}={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}{{e^{{\rm {i}}\omega }-e^{-{\rm {i}}\omega }} \over {{\rm {i}}\omega }}={\sqrt {{2} \over {\pi }}}{{\sin \omega } \over {\omega }}\!}$ 

Jekk ${\displaystyle u(t)={{1} \over {1+t^{2}}}\!}$ , għandna:

${\displaystyle {\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt}$ 

Issa napplikaw il-prinċipju tal-prolungament analitiku u il-lemma ta' Jordan u niksbu:

${\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt={\begin{cases}\pi e^{\omega }&\omega <0\\\pi e^{-\omega }&\omega >0\end{cases}}}$ 

Meta nagħmlu t-tnejn flimkien niksbu:

${\displaystyle {\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{{e^{-{\rm {i}}\omega t}} \over {1+t^{2}}}\,dt={\sqrt {{\pi } \over {2}}}e^{-|\omega |}\!}$ 

Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\mathcal {F}}(f)+\beta {\mathcal {F}}(g)}$ 

għal kull ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )}$  u ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ .

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa:

Ħalli ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$  u ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ .

Jekk ${\displaystyle g(t)=f(t-\alpha )}$ , imbagħad

${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega )e^{-{\rm {i}}\alpha \omega }}$ 

u jekk ${\displaystyle g(t)=f(t)e^{{\rm {i}}\alpha t}}$ , imbagħad

${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega -\alpha )}$ .

Hemm simmetriji oħra, pereżempju: jekk ${\displaystyle g(t)=f(-t)}$ , imbagħad ${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(-\omega )}$ , u jekk ${\displaystyle g(t)=f(-t)^{*}}$ , fejn l-asterisk jiddenota il-konjugat kompless, imbagħad ${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega )^{*}}$ . In partikulari, jekk f hi reali u żewġija, imbagħad ${\displaystyle {\hat {f}}}$  hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad ${\displaystyle {\hat {f}}}$  hi immaġinarja u farrada.

B'bidla ta' varjabbli sempliċi niksbu li jekk ${\displaystyle g(t)=f(t/\lambda )}$  b' ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ , imbagħad ${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )=\lambda {\hat {f}}(\lambda \omega )}$ .

Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' konvoluzzjoni (denotata b'${\displaystyle ^{*}}$ ) hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ),}$ 

${\displaystyle (f*g)(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t-s)g(s)\mathrm {d} s}$ ,

imbagħad ikollna

${\displaystyle {\widehat {f*g}}={\hat {f}}{\hat {g}}}$ .

Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.

Bl-integrazzjoni bill-parti nistgħu nipprovaw li jekk ${\displaystyle g(t)=-{\rm {i}}tf(t)}$  u ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ , imbagħad ${\displaystyle {\hat {f}}}$  hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk

${\displaystyle {\hat {f}}'(\omega )={\hat {g}}(\omega ).}$ 

Jekk vice versa ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$  hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, ${\displaystyle f'\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ , imbagħad it-trasformata tad-derivata hi ${\displaystyle {\widehat {f'}}(\omega )=i\omega {\hat {f}}(\omega )}$ . Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

• Serje ta' Fourier
• Analisi ta' Fourier
• Trasformata ta' Laplace

Portal Matematika

• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. ISBN 0-12-585002-6