Преобразование Фурье

Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье
Краткое имя/название	FT
Названо в честь	Жан-Батист Жозеф Фурье
Определяющая формула	${\displaystyle \left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t}$
Обозначение в формуле	${\displaystyle {\mathcal {F}}f}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \mathrm {e} }$
Обратно к	обратное преобразование Фурье[d]
Медиафайлы на Викискладе

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle f}$  вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }\,dx.}$ 

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором множителя перед интегралом (так называемого нормировочного множителя, который относится к вопросу о нормировке преобразования Фурье), а также знака «−» в показателе экспоненты. Но вне зависимости от таких вариаций все свойства будут сохранять свою силу, хотя вид некоторых формул может измениться.

Общая формула всех вариантов определения преобразования Фурье с параметрами ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  выглядит как

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ibx\omega }\,dx.}$ 

Обратное преобразование определяется так

${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .}$ 

При выборе ${\displaystyle a=0}$  и ${\displaystyle b=2\pi }$  или ${\displaystyle b=-2\pi }$  формулы становятся особенно просты, в них исчезают нормировочные множители и формулы различаются только знаком степени, вследствие чего большинство нижеприведённых формул упрощается на постоянные константы.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )}$ , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

${\displaystyle {\widehat {(\alpha f+\beta g)}}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.}$ 

• Справедливо равенство Парсеваля: если ${\displaystyle f\in L_{1}(\mathbb {R} )\cap L_{2}(\mathbb {R} )}$ , то преобразование Фурье сохраняет ${\displaystyle L_{2}}$ -норму:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{\hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .}$ 

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} )}$ . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех ${\displaystyle f\in L_{2}(\mathbb {R} )}$ .

• Формула обращения:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ix\omega }\,d\omega }$ 

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция ${\displaystyle f}$  является достаточно гладкой. Если ${\displaystyle f\in L_{2}(\mathbb {R} )}$ , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний ${\displaystyle e^{i\omega x}}$  с частотами ${\displaystyle \omega }$ , амплитудами ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}|{\hat {f}}(\omega )|}$  и фазовыми сдвигами ${\displaystyle \arg {\hat {f}}(\omega )}$  соответственно.

• Теорема о свёртке: если ${\displaystyle f,\;g\in L_{1}(\mathbb {R} )}$ , тогда

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}={\sqrt {2\pi }}{\widehat {f}}{\widehat {g}}}$ , где
${\displaystyle (f\ast g)(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t-s)g(s)\,ds.}$ 

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если ${\displaystyle f,\;f'\in L_{1}(\mathbb {R} )}$ , то

${\displaystyle {\widehat {(f')}}=i\omega {\widehat {f}}.}$ 

Из этой формулы легко выводится формула для ${\displaystyle n}$ -й производной:

${\displaystyle {\widehat {(f^{(n)})}}=(i\omega )^{n}{\widehat {f}}.}$ 

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

${\displaystyle {\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).}$ 

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией ${\displaystyle \delta (x-x_{0})}$ , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

${\displaystyle {\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).}$ 

• Формула суммирования Пуассона:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(n)}$ 

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

${\displaystyle S(\mathbb {R} ):=\left\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ):\forall n,\;m\in \mathbb {N} \;x^{n}\varphi ^{(m)}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.}$ 

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство ${\displaystyle S^{*}(\mathbb {R} )}$ . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции ${\displaystyle f\in S^{*}(\mathbb {R} )}$  её преобразованием Фурье называется обобщённая функция ${\displaystyle {\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )}$ , действующая на основные функции по правилу

${\displaystyle \langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .}$ 

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

${\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\;\varphi \right\rangle .}$ 

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ .

Принцип неопределённости

Вообще говоря, чем больше концентрация f(x), тем более размазанным должно быть её преобразование Фурье f̂(ω). В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в x раз, то её преобразование Фурье растягивается в ω раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.

Компромисс между уплотнением функции и её преобразованием Фурье можно формализовать в виде принципа неопределённости, рассматривая функцию и её преобразование Фурье как сопряжённые переменные относительно симплектической формы на время-частоту: c точки зрения линейного канонического преобразования, преобразование Фурье является поворотом на 90° во временно-частотной области и сохраняет симплектическую форму.

Предположим, что f(x) — интегрируемая и квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма выражается как

${\displaystyle \|f\|_{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$ 

Из теоремы Планшереля следует, что f̂(ω) также нормировано.

Разброс вокруг математического ожидания ${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{\|f\|_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x)|^{2}\,dx}$  может быть измерен дисперсией, определяемой как

${\displaystyle (\Delta f)^{2}={\frac {1}{\|f\|_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$ .

В терминах вероятности это центральный второй момент функции ${\displaystyle |f(x)|^{2}}$ .

Принцип неопределённости гласит, что если f(x) абсолютно непрерывна, а функции x f(x) и f′(x) квадратично-интегрируемы, то

${\displaystyle (\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f}})^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$ ,

где нормировочный множитель перед преобразованием Фурье равен ${\displaystyle 1}$ , при нормировочном множителе, равном ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$ , правое выражение переходит в ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ . Извлекая корни из обоих выражений, правое выражение становится ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}$  и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$  соответственно, ${\displaystyle \Delta }$  определяет половину ширины окна (стандартное отклонение).

Равенство достигается только в случае

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{aligned}}}$ 

где σ > 0 произвольно и ${\displaystyle C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\sigma }}}}$  так, что f является L²-нормированным. Другими словами, где f — (нормированная) функция Гаусса с дисперсией σ², центрированная на нуле, а её преобразование Фурье — гауссовская функция с дисперсией σ^-2.

Фактически, из этого неравенства следует, что:

${\displaystyle \left({\frac {1}{\|f\|_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{\|{\hat {f}}\|_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^{2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$  

для любого x₀, ω₀ ∈ R.

В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принципа неопределённости Гейзенберга.

Более сильным принципом неопределённости является принцип неопределённости Хиршмана, который выражается как:

${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)}$ 

где H(p) — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p(x):

${\displaystyle H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$ ,

где логарифмы могут быть в любой последовательной базе. Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Многомерное преобразование

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , определяется формулой

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx.}$ 

Здесь ${\displaystyle \omega }$  и ${\displaystyle x}$  — векторы пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , ${\displaystyle x\cdot \omega }$  — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задаётся формулой

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{ix\cdot \omega }\,d\omega .}$ 

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции ${\displaystyle f}$  в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида ${\displaystyle e^{ix\cdot \omega }}$  с амплитудами ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}|{\hat {f}}(\omega )|}$ , частотами ${\displaystyle \omega }$  и фазовыми сдвигами ${\displaystyle \arg {\hat {f}}(\omega )}$  соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

${\displaystyle {\widehat {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}}=i\omega _{k}{\hat {f}}(\omega ).}$ 

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}=(2\pi )^{n/2}{\hat {f}}{\hat {g}}.}$ 

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

${\displaystyle {\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a|).}$ 

• Более общо, если ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$  — обратимое линейное отображение, то

${\displaystyle {\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{-1}\omega ).}$ 

Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для ${\displaystyle 2\pi }$ -периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\,e^{inx}.}$ 

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой ${\displaystyle 2\pi }$ -периодической функции имеем

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\delta (\omega -n).}$ 

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1}}$  — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен ${\displaystyle f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{n-1}t^{n-1}}$ . Выберем какие-нибудь ${\displaystyle n}$  точек на комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{n-1}}$ . Теперь многочлену ${\displaystyle f(t)}$  мы можем сопоставить новый набор из ${\displaystyle n}$  чисел: ${\displaystyle f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})}$ . Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел ${\displaystyle f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{n-1}}$  существует единственный многочлен ${\displaystyle f(t)}$  степени не выше ${\displaystyle n-1}$  с такими значениями в ${\displaystyle z_{0},\;\ldots ,\;z_{n-1}}$  соответственно (см. Интерполяция).

Набор ${\displaystyle \{f_{k}\}}$  и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ . В качестве точек ${\displaystyle z_{k}}$  обычно выбирают корни ${\displaystyle n}$ -й степени из единицы:

${\displaystyle z_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{n}}}$ .

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины ${\displaystyle n}$  напрямую требует порядка ${\displaystyle n^{2}}$  операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за ${\displaystyle O(n\log n)}$  операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка ${\displaystyle n}$  операций.

Оконное преобразование

${\displaystyle F(t,\;\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }\,d\tau ,}$ 

где ${\displaystyle F(t,\;\omega )}$  даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала ${\displaystyle f(t)}$  в окрестности момента времени ${\displaystyle t}$ .

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию ${\displaystyle W}$ , причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором ${\displaystyle x_{k}}$  определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему о свёртке, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где ${\displaystyle \omega }$  — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция ${\displaystyle f}$  является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции ${\displaystyle F}$  представляет амплитуды соответствующих частот (${\displaystyle \omega }$ ), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье. ${\displaystyle F(\omega )}$  и ${\displaystyle G(\omega )}$  обозначают Фурье компоненты функций ${\displaystyle f(t)}$  и ${\displaystyle g(t)}$ , соответственно. ${\displaystyle f}$  и ${\displaystyle g}$  должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ , зависят от соглашения, какая форма определения для преобразования Фурье использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

	Функция	Образ	Примечания
1	${\displaystyle af(t)+bg(t)}$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )}$	Линейность
2	${\displaystyle f(t-a)}$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )}$	Запаздывание
3	${\displaystyle e^{iat}f(t)}$	${\displaystyle F(\omega -a)}$	Частотный сдвиг
4	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	Если ${\displaystyle a}$  большое, то ${\displaystyle f(at)}$  сосредоточена около нуля, и ${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$  становится плоским
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )}$	Свойство преобразования Фурье от ${\displaystyle n}$ -й производной
6	${\displaystyle t^{n}f(t)}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	Это обращение правила 5
7	${\displaystyle (f*g)(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )}$	Запись ${\displaystyle f*g}$  означает свёртку ${\displaystyle f}$  и ${\displaystyle g}$ . Это правило — теорема о свёртке
8	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}}$	Это обращение 7
9	${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle \delta (t)}$  означает дельта-функцию Дирака
10	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )}$	Обращение 9.
11	${\displaystyle t^{n}}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}$	Здесь ${\displaystyle n}$  — натуральное число, ${\displaystyle \delta ^{(n)}(\omega )}$  — ${\displaystyle n}$ -я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12	${\displaystyle e^{iat}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)}$	Следствие 3 и 10
13	${\displaystyle \cos(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера ${\displaystyle \cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)}$
14	${\displaystyle \sin(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}}$	Также из 1 и 12
15	${\displaystyle \exp(-at^{2})}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)}$	Показывает, что функция Гаусса ${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)}$  совпадает со своим изображением
16	${\displaystyle W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)}$	${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)}$	Прямоугольная функция — идеальный фильтр нижних частот, а функция sinc(x) — её временной эквивалент
17	${\displaystyle {\frac {1}{t}}}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	Здесь ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )}$  — функция sgn. Это правило согласуется с 6 и 10
18	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	Обобщение 17
19	${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}}$	Обращение 17
20	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\theta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )}$	Здесь ${\displaystyle \theta (t)}$  — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

• Ортогональные функции
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Вейвлет
• Чирплет
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Гильбертово пространство