Преобразование На Фурие

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел.

В началото се дефинира за абсолютно интегрируеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.

Нека ${\displaystyle f}$  е функция с период ${\displaystyle 2\pi }$ , която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала ${\displaystyle \mathbb {T} =[0,2\pi )}$ . С ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$  означаваме банаховото пространство от функции ${\displaystyle f}$ , за които е изпълнено ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|f(t)|dt<\infty .}$ 

Преобразуването на Фурие ${\displaystyle {\hat {f}}}$  се дефинира чрез интеграла ${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-2\pi int}dt,n\in \mathbb {Z} }$ . Комплексното число ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$  се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на ${\displaystyle f}$ .

Нека ${\displaystyle f}$  е функция от банаховото пространство ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ , което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Преобразуването на Фурие се дефинира чрез интеграла ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t)e^{-2\pi i\langle \omega ,t\rangle }}$ .

Ако разглеждаме функциите ${\displaystyle f}$  от хилбертовото пространство ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ , т.е. всички фунцкии, за които ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(t)|^{2}dt<\infty }$ , можем да дефинираме Преобразуването на Фурие като линеен оператор ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ , за който е изпълнено следното

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}f={\hat {f}},f\in L^{1}\cap L^{2}}$ ,
• ${\displaystyle \|{\mathcal {F}}f\|_{L^{2}}=\|f\|_{L^{2}}}$ .

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за Преобразуване на Фурие, дефинирано в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ .

Нека ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ , а ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$  е обобщена функция. Тогава преобразуването на Фурие ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$  се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството ${\displaystyle \langle f,\mu \rangle =\langle {\hat {f}},{\hat {m}}\rangle }$ .

Коефициентите на Фурие имат следните свойства:

• ${\displaystyle {\widehat {f+g}}(n)={\hat {f}}(n)+{\hat {g}}(n)}$  за ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {T} )}$ ;
• ${\displaystyle {\widehat {cf}}(n)=c{\hat {f}}(n)}$  за ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$ ;
• ${\displaystyle {\hat {\bar {f}}}(n)={\overline {{\hat {f}}(n)}}}$  за ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$ ;
• Ако означим ${\displaystyle f_{\tau }(t)=f(t-\tau ),\tau \in \mathbb {T} }$ , то ${\displaystyle {\hat {f}}_{\tau }(n)={\hat {f}}(n)e^{-int}}$  (транслация се преобразува в модулация);
• Ако означим ${\displaystyle f^{m}(t)=e^{2\pi imt}f(t),m\in \mathbb {Z} }$ , то ${\displaystyle {\hat {f}}^{m}(n)=f(n-m)}$  (модулация се преобразува в транслация);
• ${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}(n)={\hat {f}}(n)\cdot {\hat {g}}(n)}$  (конволюция се преобразува в произведение);
• Оценка на коефициентите: ${\displaystyle |{\hat {f}}(n)|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }|f(t)|dt.}$ 

Непрекъснатост

Ако ${\displaystyle f_{j}\in L^{1}(\mathbb {T} ),j\in \mathbb {N} }$  и ${\displaystyle \|f_{j}-f_{0}\|_{L^{1}}\rightarrow 0}$ , то ${\displaystyle {\hat {f}}_{j}(n)}$  клони равномерно към ${\displaystyle {\hat {f}}_{0}(n)}$  за всяко n.

Сходимост

Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.

За всяка функция ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$  е изпълнено ${\displaystyle \lim _{|n|\to \infty }{\hat {f}}(n)=0}$ .