Естествено Число

Естествените числа се използват при броенето („На масата има 3 ябълки“) и при номерацията („Той завърши на 3-то място“).

В математиката е прието множеството на естествените числа да се означава с N или с ${\displaystyle \mathbb {N} }$  . По определение това е безкрайно и изброимо множество. За да се избегне объркването дали нулата се включва или не, се използват също следните означения:

• за естествените числа: N или ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 

• за целите положителни числа: Z⁺ или ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ , където ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  е множеството на целите числа.
• за целите неотрицателни числа: Z⁺₀ или ${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}$ , където ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  е множеството на целите числа.

По конвенция в онези дялове на математиката, в които се набляга предимно на мултипликативните свойства на естествените числа — напр. в теорията на числата — под ${\displaystyle \mathbb {N} }$  се разбира ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ . Където естествените числа се използват предимно за броене — напр.комбинаторика, математическа логика, теория на множествата и информатика — ${\displaystyle \mathbb {N} }$  по-често означава ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$ . Според международния стандарт ISO 80000-2 множеството ${\displaystyle \mathbb {N} }$  на естествените числа включва нулата.

Следва точното математическо определяне на естествените числа, предложено от Джузепе Пеано през 1889. Това са наречените на него аксиоми на Пеано:

• 0 е естествено число.
• Всяко естествено число a има наследник a+1, който също е естествено число.
• Няма естествено число, чийто наследник е 0.
• Ако две естествени числа са различни, тогава и наследниците им са различни: ако a≠b, тогава a+1≠b+1.
• Ако за едно подмножество на естествените числа A важи: 0 ∈ A и за всяко a ∈ A важи a+1 ∈ A, то множеството A е равно на множеството на естествените числа. (Тази аксиома осигурява правилността на математическата индукция като доказателствен метод).

В теорията на множествата се използва следната конструкция на естествените числа, предложена от Джон фон Нойман:

• 0 := {}
• 1 := {0} = {{}}
• 2 := {0, 1} = {{}, {{}}}
• 3 := {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
• n+1 := {0, 1,..., n} = n U {n}

Всяко от естествените числа се представя като мощността на съответното множество.

Според това определение множеството n съдържа точно n елемента и n ≤ m тогава и само тогава, когато n е подмножество на m.

Въпреки че тази конструкция е удачна, тя не е единствената възможна. Например:

• 0 := {}
• n+1 := {n}

Тогава 1 := {0} = {{}}, 2 := {1} = {{{}}} и т.н.

• Комутативност на събирането: a + b = b + a.
• Комутативност на умножението: ab = ba.
• Асоциативност на събирането: (a + b) + c = a + (b + c).
• Асоциативност на умножението: (ab)c = a(bc).
• Дистрибутивност на умножението относно събирането: a(b+c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca.

• Цяло число
• Рационално число
• Реално число