Transformasi Fourier

Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.

Lihat juga: Daftar transformasi yang berhubungan dengan Fourier.

Transformasi Fourier dari suatu fungsi f secara tradisional dilambangkan ${\displaystyle {\hat {f}}}$ , dengan menambahkan sirkumfleks ke simbol fungsi. Ada beberapa konvensi umum untuk mendefinisikan transformasi Fourier dari sebuah fungsi integrable ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ . One of them is

untuk semua bilangan riil ξ.

Alasan tanda negatif dalam eksponen adalah persamaan dalam teknik elektro menjadi , yaitu by ${\displaystyle f(x)=e^{2\pi i\xi _{0}x}}$  sinyal dengan fase dan frekuensi awal nol ${\displaystyle \xi _{0}.}$  Konvensi tanda negatif menyebabkan produk ${\displaystyle e^{2\pi i\xi _{0}x}e^{-2\pi i\xi x}}$  to be 1 (frekuensi nol) kapan ${\displaystyle \xi =\xi _{0},}$  menyebabkan integral menyimpang. Hasilnya adalah Fungsi delta Dirac di ${\displaystyle \xi =\xi _{0}}$ , yang merupakan satu-satunya komponen frekuensi dari sinyal sinusoidal ${\displaystyle e^{2\pi i\xi _{0}x}.}$ 

Ketika variabel independen x mewakili waktu, variabel transformasi ξ mewakili frekuensi (contohnya, jika waktu diukur dalam detik, maka frekuensi dalam hertz). Dalam kondisi yang sesuai, f ditentukan oleh ${\displaystyle {\hat {f}}}$  melalui transformasi terbalik:

untuk bilangan riil untuk fungsi x.

Pernyataan dari mana f dapat menentukan ${\displaystyle {\hat {f}}}$  dikenal sebagai Teorema inversi Fourier, dan pertama kali diperkenalkan di Fourier Analytical Theory of Heat, meskipun apa yang akan dianggap sebagai bukti menurut standar modern tidak diberikan sampai lama kemudian. Fungsi f dan ${\displaystyle {\hat {f}}}$  sering disebut sebagai pasangan integral Fourier atau pasangan transformasi Fourier.

Untuk konvensi dan notasi umum lainnya, termasuk menggunakan frekuensi sudut ω alih-alih frekuensi ξ, lihat Konvensi lain dan Notasi lainnya di bawah. The Transformasi Fourier pada ruang Euklides diperlakukan secara terpisah, di mana variabel x sering mewakili posisi dan momentum ξ. Konvensi yang dipilih dalam artikel ini adalah yang analisis harmonik, dan dicirikan sebagai konvensi unik sehingga transformasi Fourier keduanya pada L² dan homomorfisme aljabar dari L¹ untuk L^∞, tanpa menormalkan kembali ukuran Lebesgue.

Banyak karakterisasi lain dari transformasi Fourier ada. Misalnya, seseorang menggunakan Teorema Stone–von Neumann: Transformasi Fourier adalah kesatuan unik intertwiner untuk representasi simplektis dan Euklides Schrödinger dari kelompok Heisenberg.

Ada beberapa pengertian mengenai definisi transformasi Fourier ƒ̂ dari sebuah fungsi integrasi ƒ: R → C. Secara umum, definisi transformasi Fourier adalah:

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx}$ ,   untuk setiap bilangan riil ξ.

Pada tahun 1822, Joseph Fourier menunjukkan bahwa beberapa fungsi dapat ditulis sebagai jumlah harmonisa yang tak terbatas.