Transformasi Laplace atau alih ragam Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.
Dalam matematika jenis transformasi atau alih ragam ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilator harmonik, perangkat optik dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu sistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.
Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.
Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidang fisika, optik, rekayasa listrik, rekayasa kendali, pengolahan isyarat dan teori kemungkinan.
Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi, Pierre-Simon Laplace, yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan. Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya oleh Leonhard Euler, seorang ahli matematika prolific Swiss abad kedelapanbelas.
Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:
Limit bawah adalah kependekan dari dan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsi delta Dirac pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam f(t) pada 0.
Secara umum parameter s bernilai kompleks:
Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanya s (Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian.
Tabel berikut ini adalah daftar transformasi Laplace:
Domain waktu | Domain s | Keterangan | |
---|---|---|---|
Linearitas | Dapat dibuktikan dengan aturan integral sederhana. | ||
Turunan domain-frekuensi | F′ adalah turunan pertama dari F. | ||
Turunan umum domain-frekuensi | Bentuk yang lebih umum, turunan ke-n dari F(s). | ||
Turunan | f diasumsikan sebagai fungsi yang dapat didiferensiasi, dan turunannya diasumsikan bertipe eksponensial. Lalu didapatkan melalui integral parsial | ||
Turunan kedua | f diasumsikan diturunkan 2 kali dan turunan kedua merupakan eksponensial. Dilanjutkan dengan memasukkan properti turunan ke f′(t). | ||
Turunan secara umum | f diasumsikan diturunkan ke-n kali, dengan turunan ke-n adalah eksponensial. Dilanjutkan dengan induksi matematika. | ||
Integrasi domain-frekuensi | |||
Integrasi domain-waktu | u(t) adalah fungsi step Heaviside. Catat bahwa (u ∗ f)(t) adalah konvolusi dari u(t) dan f(t). | ||
Frequency shifting | |||
Time shifting | u(t) adalah fungsi step Heaviside | ||
Time scaling | |||
Perkalian | Integrasi dilakukan sepanjang garis vertikal Re(σ) = c yang terletak di antara luasan konvergen F. | ||
Konvolusi | |||
Konjugasi kompleks | |||
Cross-correlation | |||
Fungsi periodik | f(t) adalah fungsi periodik dari periode T sehingga f(t) = f(t + T), untuk semua t ≥ 0. |
This article uses material from the Wikipedia Bahasa Indonesia article Transformasi Laplace, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Konten tersedia di bawah CC BY-SA 4.0 kecuali dinyatakan lain. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Bahasa Indonesia (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.