Laplace-Transformasjon

Ved å gjere det vil enkelte matematiske operasjonar kunne bli enklare å utføre. Dette gjeld spesielt derivasjon, integrasjon og foldning. Transformasjonen er kalla opp etter Pierre-Simon Laplace.

Den tidsdiskrete varianten av laplace-transformasjonen er kjend som Z-transformasjonen.

Den einsidige laplacetransformasjonen er definert:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$ ,

der ${\displaystyle f(t)}$  er ein funksjon (eller eit signal) i tidsplanet, ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$  er kompleks frekvens, ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$  er den imaginære eininga, ${\displaystyle \omega }$  er vinkelfrekvensen (rad/s) og σ er reell. I eit stabilt system er σ negativ, og tilsvarar demping. Innan matematikk og fysikk er det vanleg å nytta symbolet ${\displaystyle i}$  for den imaginære eininga, i staden for ${\displaystyle j}$ . I samband med ingeniørfag nyttar ein som oftast symbolet ${\displaystyle j}$ , for å unngå forveksling med elektrisk straum, som òg har symbolet ${\displaystyle i}$ .

Ein kan òg definera ein to-sidig Laplace-transformasjon, som

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$ 

Den inverse Laplace-transformasjonen transformerer frå det komplekse frekvensplanet (${\displaystyle s}$ -planet) attende til tidsplanet:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{j2\pi }}\int _{\sigma _{1}-j\infty }^{\sigma _{1}+j\infty }F(s)e^{st}\,ds,}$ 

der ${\displaystyle \sigma _{1}}$  er eit reelt tal større enn den største av realdelane til alle singularitetane til ${\displaystyle F(s)}$ , og ${\displaystyle F(s)}$  er avgrensa på integrasjonsvegen.

I ${\displaystyle s}$ -planet vert derivasjon erstatta av multiplikasjon med ${\displaystyle s}$ , og integrasjon vert erstatta av divisjon med ${\displaystyle s}$ , noko som er mykje enklare operasjonar.

Foldning av dei to signala ${\displaystyle x(t)}$  og ${\displaystyle h(t)}$  vert i tidsplanet utført som

${\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)h(t-\tau )d\tau ,}$ 

der ${\displaystyle *}$  er foldningsoperatoren, som er ein kompakt notasjon for foldning. I ${\displaystyle s}$ -planet tilsvarar dette multiplikasjon:

${\displaystyle Y(s)=X(s)H(s),}$ 

der ${\displaystyle X(s)}$  og ${\displaystyle H(s)}$  er Laplacetransformasjonane av ${\displaystyle x(t)}$  respektivt ${\displaystyle h(t)}$ , som er enklare å utføra. På same vis tilsvarar foldning i ${\displaystyle s}$ -planet multiplikasjon i tidsplanet.

Laplacetransformasjon spelar ein vikig rolle i samband med analyse og syntese av lineære dynamisk system. innan signalhandsaming og reguleringsteknikk.

• Fouriertransformasjon
• Z-transformasjon