Преобразование Лапласа

С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной ${\displaystyle \ f(t)}$  называется функция ${\displaystyle \ F(s)}$  комплексной переменной ${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$ , такая что:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$ 

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Функцию ${\displaystyle f(t)}$  называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию ${\displaystyle F(s)}$  называют изображением функции ${\displaystyle f(t)}$ .

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: ${\displaystyle f(t)\risingdotseq F(s)}$  и ${\displaystyle F(s)\fallingdotseq f(t)}$ , причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного ${\displaystyle F(s)\ }$  называется функция ${\displaystyle f(t)\ }$  вещественной переменной, такая что:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\omega \rightarrow \infty }\int \limits _{\sigma _{1}-i\omega }^{\sigma _{1}+i\omega }e^{st}F(s)\,ds,}$ 

где ${\displaystyle \sigma _{1}\ }$  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции ${\displaystyle f(x)\ }$  участвуют значения ${\displaystyle x<0}$ .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-sx}f(x)\,dx.}$ 

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают ${\displaystyle D\ }$ -преобразование и ${\displaystyle Z\ }$ -преобразование.

• ${\displaystyle D\ }$ -преобразование

Пусть ${\displaystyle x_{d}(t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)}$  — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени ${\displaystyle nT\ }$ , где ${\displaystyle n\ }$  — целое число, а ${\displaystyle T\ }$  — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

${\displaystyle {\mathcal {D}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot e^{-snT}.}$ 

• ${\displaystyle Z\ }$ -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

${\displaystyle z=e^{sT},}$ 

получим ${\displaystyle Z}$ -преобразование:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot z^{-n}.}$ 

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при ${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}}$ , то есть существует предел

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx,}$ 

то он сходится абсолютно и равномерно для ${\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{0}}$  и ${\displaystyle F(s)}$  — аналитическая функция при ${\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{0}}$  (${\displaystyle \sigma =\mathrm {Re} \,s}$  — вещественная часть комплексной переменной ${\displaystyle s}$ ). Точная нижняя грань ${\displaystyle \sigma _{a}}$  множества чисел ${\displaystyle \sigma }$ , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции ${\displaystyle f(x)}$ .

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)\}}$  существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. ${\displaystyle \sigma \geqslant 0}$ : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|\,dx}$ ;
2. ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$ : преобразование Лапласа существует, если интеграл ${\displaystyle \int \limits _{0}^{x_{1}}|f(x)|\,dx}$  существует для каждого конечного ${\displaystyle x_{1}>0}$  и ${\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^{\sigma _{a}x}}$  для ${\displaystyle x>x_{2}\geqslant 0}$ ;
3. ${\displaystyle \sigma >0}$  или ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$  (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции ${\displaystyle f'(x)}$  (производная от ${\displaystyle f(x)}$ ) для ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$ .

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение ${\displaystyle F(s)}$  — аналитическая функция для ${\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{a}}$  и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=0}$  для ${\displaystyle t\leqslant 0}$ .
2. Пусть ${\displaystyle F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_{2}(s),\;\ldots ,\;F_{n}(s)]}$ , так что ${\displaystyle \varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})}$  аналитична относительно каждого ${\displaystyle z_{k}}$  и равна нулю для ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0}$ , и ${\displaystyle F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{ak}\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)}$ , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x)\}.}$ 

• Умножение изображений

${\displaystyle f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau =sF(s)G(s).}$ 

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).}$ 

В более общем случае (производная ${\displaystyle n}$ -го порядка):

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}(x)\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+})-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-\ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n-1)}(0^{+}).}$ 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}.}$ 

• Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F'(s)\}=-xf(x).}$ 

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{\int \limits _{s}^{+\infty }F(s)\,ds\right\}={\frac {f(x)}{x}}.}$ 

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a);}$ 
${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{ax}f(x).}$ 

Запаздывание оригинала:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t-a)H(t-a)\}=e^{-as}F(s);}$ 
${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(x-a)H(x-a).}$ 

где ${\displaystyle H(x)}$  — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}sF(s)}$ , если все полюсы функции ${\displaystyle sF(s)}$  находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• Другие свойства

Линейность:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).}$ 

Умножение на число:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(ax)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right).}$ 

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область ${\displaystyle x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{X(s)\}}$	Частотная область ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\{x(t)\}}$	Область сходимости для причинных систем
1	дельта-функция	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1\ }$	${\displaystyle \forall s\ }$
1a	запаздывающая дельта-функция	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$
2	запаздывание ${\displaystyle n}$ -го порядка с частотным сдвигом	${\displaystyle {\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot H(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$
2a	степенная ${\displaystyle n}$ -го порядка, ${\displaystyle n>-1}$	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\cdot H(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
2a.1	степенная ${\displaystyle q}$ -го порядка, ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$	${\displaystyle {\frac {t^{q}}{\Gamma (q+1)}}\cdot H(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{q+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
2a.2	функция Хевисайда	${\displaystyle H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
2b	функция Хевисайда с запаздыванием	${\displaystyle H(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {e^{-\tau s}}{s}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
2c	«ступенька скорости»	${\displaystyle t\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
2d	${\displaystyle n}$ -го порядка с частотным сдвигом	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot H(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$
2d.1	экспоненциальное затухание	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s+\alpha }}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha \ }$
3	экспоненциальное приближение	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0\ }$
4	синус	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0\ }$
5	косинус	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0\ }$
6	гиперболический синус	${\displaystyle \mathrm {sh} \,(\alpha t)\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>|\alpha |\ }$
7	гиперболический косинус	${\displaystyle \mathrm {ch} \,(\alpha t)\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>|\alpha |\ }$
8	экспоненциально затухающий синус	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha \ }$
9	экспоненциально затухающий косинус	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha \ }$
10	корень ${\displaystyle n}$ -го порядка	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot H(t)}$	${\displaystyle s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
11	натуральный логарифм	${\displaystyle \ln \left({\frac {t}{t_{0}}}\right)\cdot H(t)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{s}}[\ln(t_{0}s)+\gamma ]}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
12	функция Бесселя первого рода порядка ${\displaystyle \nu }$ , ${\displaystyle \nu >-1}$	${\displaystyle J_{\nu }(\alpha t)\cdot H(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}-s\right)^{\nu }}{\alpha ^{\nu }{\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0\ }$
13	модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ${\displaystyle \nu }$ , ${\displaystyle \nu >-1}$	${\displaystyle I_{\nu }(\alpha t)\cdot H(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left(s-{\sqrt {s^{2}-\alpha ^{2}}}\right)^{\nu }}{\alpha ^{\nu }{\sqrt {s^{2}-\alpha ^{2}}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>|\alpha |\ }$
14	функция Бесселя второго рода нулевого порядка	${\displaystyle Y_{0}(\alpha t)\cdot H(t)\ }$	${\displaystyle -{\frac {2\mathrm {arsh} (s/\alpha )}{\pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0\ }$
15	модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка	${\displaystyle K_{0}(\alpha t)\cdot H(t)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {arch} (s/\alpha )}{\sqrt {s^{2}-\alpha ^{2}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>|\alpha |}$
16	функция ошибок	${\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot H(t)}$	${\displaystyle {\frac {e^{s^{2}/4}\mathrm {erfc} (s/2)}{s}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
Примечания к таблице: ${\displaystyle H(t)\ }$  — функция Хевисайда; ${\displaystyle \delta (t)\ }$  — дельта-функция; ${\displaystyle \Gamma (z)\ }$  — гамма-функция; ${\displaystyle \gamma \ }$  — постоянная Эйлера — Маскерони; ${\displaystyle t\ }$  — вещественная переменная; ${\displaystyle s\ }$  — комплексная переменная; ${\displaystyle \alpha \ }$ , ${\displaystyle \beta \ }$ , ${\displaystyle \nu \ }$ , ${\displaystyle \tau \ }$  и ${\displaystyle \omega \ }$  — вещественные числа; ${\displaystyle n\ }$  — целое число. Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция ${\displaystyle h(t)\ }$  равна нулю для любого момента времени ${\displaystyle t<0\ }$ .

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.
• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
• Решение нестационарных задач математической физики.

Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

1. По заданному входному воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
2. По д.у. составляют передаточную функцию.
3. Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
4. Определяют оригинал.

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\{f(x)\}=sF(s).}$ 

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$  связано с односторонним с помощью следующей формулы:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}\{f(x);\;s\}={\mathcal {L}}\{f(x);\;s\}+{\mathcal {L}}\{f(-x);\;-s\}.}$ 

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом ${\displaystyle s=i\omega }$ :

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}{\Big |}_{s=i\omega }=F(s){\Big |}_{s=i\omega }=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-i\omega x}f(x)\,dx.}$ 

В свою очередь, преобразование Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}}$  является преобразованием Фурье от функции ${\displaystyle f(t)e^{-\lambda t}H(t)}$ , где ${\displaystyle H(t)}$  — функция Хевисайда. Частоту ${\displaystyle \omega }$  преобразования Фурье связывает с комплексным параметром преобразования Лапласа равенство ${\displaystyle s=\lambda +i\omega }$  :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)e^{-\lambda t}H(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\lambda t}H(t)e^{-i\omega t}dt=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\lambda t}e^{-i\omega t}dt=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-(\lambda +i\omega )t}dt=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$ 

Благодаря домножению на затухающую экспоненту ${\displaystyle e^{-st}}$ , многие неограниченные на ${\displaystyle t\to +\infty }$  функции становятся достаточно быстро затухающими, чтобы к ним было применимо преобразование Фурье. Неограниченный рост на ${\displaystyle -\infty }$  предотвращает функция Хевисайда ${\displaystyle H(t)}$ , которая зануляет функцию при отрицательных ${\displaystyle t}$ .

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ , который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }\theta ^{s}{\frac {g(\theta )}{\theta }}\,d\theta }$ 

положим ${\displaystyle \theta =e^{-x}}$ , то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

${\displaystyle Z}$ -преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

${\displaystyle z\equiv e^{sT},}$ 

где ${\displaystyle T=1/f_{s}\ }$  — период дискретизации, а ${\displaystyle f_{s}\ }$  — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$ 

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

• Первая теорема разложения
• Вторая теорема разложения
• Преобразование Фурье
• D с чертой-преобразование
• Дифференциальные уравнения