Shpërndarja Landau

Për shkak të bishtit "të trashë" të shpërndarjes, momentet e shpërndarjes, si mesatarja ose varianca, janë të papërcaktuara. Shpërndarja është një rast i veçantë i shpërndarjes së qëndrueshme .

Shpërndarja Landau

Probability density function ${\displaystyle \mu =0,\;c=\pi /2}$
Parametrat	${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ — parametri i shkallës ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$ — parametri i vendndodhjes
Mbështetës	${\displaystyle \mathbb {R} }$
FDGJ	${\displaystyle {\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt}$
Vlera e pritur	E papërcaktuar
Varianca	E papërcaktuar
FGJM	I papërcaktuar
FK	${\displaystyle \exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

Funksioni i dendësisë së probabilitetit, siç është shkruar fillimisht nga Landau, përcaktohet nga integrali kompleks :

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}$ 

ku a është një numër real arbitrar pozitiv, që do të thotë se rruga e integrimit mund të jetë çdo paralele me boshtin imagjinar, duke kryqëzuar gjysmë-boshtin real pozitiv, dhe ${\displaystyle \log }$  i referohet logaritmit natyror . Me fjalë të tjera është transformimi Laplas i funksionit ${\displaystyle s^{s}}$  .

Integrali real i mëposhtëm është i barabartë me atë më lart:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$ 

Familja e plotë e shpërndarjeve Landau përftohet duke zgjeruar shpërndarjen origjinale në një familje të shkallës së vendndodhjes të shpërndarjeve të qëndrueshme me parametra ${\displaystyle \alpha =1}$  dhe ${\displaystyle \beta =1}$ , me funksion karakteristik :

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$ 

ku ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$  dhe ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$ , e cila jep një funksion dendësie si më poshtë:

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}$ 

 

• Përkthimi: Nëse ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$  atëherë ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$  .
• Shkallëzimi: Nëse ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$  atëherë ${\displaystyle aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -{\tfrac {2ac\log(a)}{\pi }},ac)\,}$  .
• Shuma: Nëse ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1})}$  dhe ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})\,}$  atëherë ${\displaystyle X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},c_{1}+c_{2})}$  .