Логаритам

Логаритмот е обратна операција на степенувањето, исто како што делењето е обратна операција на множењето и обратно. Тоа значи дека логаритам од некој број е степенот на којшто друг број треба да се степенува за да истиот се добие. Во наједноставен случај логаритмот ги брои повторените множења на ист множител, на пример, бидејќи 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³, „логаритмот со основа 10“ од 1000 е 3. Поопшто, степенувањето овозможува кој било реален број да се степенува на кој било степен, притоа дава позитивен резултат, така што може да се пресмета логаритам за кои било два позитивни реални броеви b и x каде b е различен од 1. Логаритам од x со „основа“ b, обележан како log_b (x) (или log_b x за да нема забуни), е единствениот реален број y така што b^y = x. На пример, log₂ 64 = 6, со оглед дека 64 = 2⁶.

Логаритмот со основа 10 (што значи b = 10) се нарекува десетичен логаритам и има бројни примени во науката и инженерството. Природниот логаритам за основа го има бројот e (≈ 2,718), и истиот нашироко се користи во математиката и физиката заради неговиот поедноставен извод. Основата на двоичниот логаритам е 2 (така што b = 2) и се користи во информатиката.

Логаритмите биле воведени од Џон Непер на почетокот на XVII век како средство за поедноставување на пресметките. Брзо биле прифатени од морепловците, научниците, инженерите и други за поедноставно пресметување со користење на логаритмари и логаритамски таблици. Заморните чекори на множење на повеќецифрени броеви може да се заменат со податоци од табела и поедноставното собирање заради тоа што логаритам од производ е збир од логаритмите од множениците:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,\,}$

под услов b, x и y да се позитивни и b ≠ 1.

Денешниот поим за логаритам доаѓа од Леонард Ојлер, кој го поврзал логаритмот со експоненцијалната функција во XVIII век.

Логаритамските скали го смалуваат широкиот распон на количини на мали опсези. На пример, децибелот (dB) се користи како мерна единица за да изрази логаритамски однос, најчесто за моќ и амплитуда на сигнали (на пример звучен притисок). Во хемијата, pH е логаритамска мерка на киселоста на воден раствор. Логаритмите се вообичаени во научните формули, во мерењата на комплексноста на алгоритмите и геометриски објекти наречени фрактали. Помагаат да се опишат честотните соодноси на музичките интервали, се јавуваат во формулите за броење на примарни броеви, а можат да помогнат и во форензичкото сметководство.

Идејата на логаритмот е да биде обратна операција на операцијата степенување, која претставува дигање на некој број на степен. На пример, трет степен (или куб) од 2 е 8, бидејќи 8 е производ од три множеници по 2:

${\displaystyle 2^{3}=2\times 2\times 2=8}$ 

Следи дека логаритам од 8 со основа 2 е 3, па log₂ 8 = 3.

Степенување

Трет степен од некој број b е производ на три множеници еднакви на b. Поопшто, дигање на бројот b на n-ти степен, каде n е природен број, се добива со множење n множеници еднакви на b. n-ти степен од b се пишува како bⁿ, така што

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}}$ 

Степенувањето може да се прошири на b^y, каде b е позитивен број, а „степенот“ y е кој било реален број. На пример, b⁻¹ е реципрочна на b, што е, 1/b. (За повеќе поединости видете степенување или )

Дефиниција

Логаритам од позитивен реален број x со основа b, каде што b е позитивен реален број различен од 1, е степенот на кој b треба да се крене за да се добие x. Со други зборови, логаритам од x со основа b е решението y на равенката

${\displaystyle b^{y}=x}$ 

Логаритмот се бележи "log_b x" (се изговара „логаритам од x со основа b"), така што горниот дефинициски идентитет станува:

${\displaystyle b^{\log _{b}x}=x}$ 

Во равенката y = log_b x, вредноста y е одговор на прашањето „На кој степен треба да се дигне b за да се добие x?“.

Примери

• log₂ 16 = 4 , бидејќи 2⁴ = 2 ×2 × 2 × 2 = 16.
• Логаритмите можат да бидат и негативни: ${\displaystyle \quad \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1\quad }$  бидејќи ${\displaystyle \quad 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$ 
• log₁₀150 е приближно 2,176, што е меѓу 2 и 3, исто како што 150 лежи меѓу 10² = 100 и 10³ = 1000.
• За која било основа b, log_b b = 1 и log_b 1 = 0, бидејќи b¹ = b и b⁰ = 1, соодветно.

Повеќе битни формули, наречени и логаритамски идентитети или логаритамски закони, ги даваат меѓусебните врски на логаритмите.

Производ, количник, степен, и корен

Логаритам од производ е сума од логаритмите од броевите кои се множат; логаритам од количник од два броја е разлика од логаритмите на деленикот и делителот. Логаритам од p-ти степен на број е p пати од логаритмот од самиот тој број; логаритам од p-ти корен е логаритам од бројот поделен со p. Во следната табела е даден список на идентитети со примери. Секој од идентитетите може да биде изведен со замена на дефинициите за логаритам ${\displaystyle x=b^{\log _{b}x}}$  или ${\displaystyle y=b^{\log _{b}y}}$  на левата страна од идентитетот.

	Формула	Пример
Производ	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y}$	${\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}$
Количник	${\displaystyle \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}$	${\displaystyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}$
Степен	${\displaystyle \log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x}$	${\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}$
Корен	${\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1,5}$

Промена на основата

Логаритмот log_bx може да биде пресметан од логаритмите на x и b со која било произволна основа k користејќи ја следната формула:

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.\,}$ 

Типичен научно сметало пресметува логаритми со основи 10 и e. Логаритми со која било основа b може да се определат користејќи кој било од овие два логаритма според претходната формула:

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.\,}$ 

Со дадениот број x и неговиот логаритам log_bx со непозната основа b, основата е дадена со:

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}x}},}$  што може да се види од дефинициската равенка ${\displaystyle x=b^{\log _{b}x}}$  на степен ${\displaystyle \;{\tfrac {1}{\log _{b}x}}.}$ 

 

 

Меѓу сите избори за основа, три се особено чести. Тоа се b = 10, b = e (ирационална математичка константа ≈ 2,71828), и b = 2 (двоичен логаритам). Во математичката анализа, логаритмот со основа e се користи нашироко заради неговите посебни аналитички својства објаснети подолу. Од друга страна, логаритмите со основа base-10 се лесни за користење при рачни пресметки во децималниот броен систем:

${\displaystyle \log _{10}(10x)=\log _{10}10+\log _{10}x=1+\log _{10}x.\ }$ 

Така, log₁₀x се однесува на бројот на декадни цифри на позитивен цел број x: бројот на цифри е најмалиот цел број строго поголем од log₁₀x. На пример, log₁₀1430 е приближно еднаков на 3,15. Следниот цел број е 4, кој го дава бројот на цифри на 1430. И двата, природниот логаритам и двоичниот логаритам се користат во теоријата на информации, а како основни единици за информација ги користат натовите и битовите, соодветно. Двоичните логаритми исто така се користат во информатиката, каде двоичниот броен систем е сеприсутен, во музичката теорија каде што е сеприсутен во односот меѓу две октави, и во фотографијата за мерење на вредноста на експозиција.

Во следната табела се дадени најчестите обележувања за логаритмите со овие основи и полиња на нивната примена. Во многу дисциплини се пишува logx наместо log_bx, каде што основата може да се одреди од контекстот. Се користи и обележувањето ^blogx. Колоната „ИСО обележување“ ги дава обележувањата препорачани од Меѓународната организација за стандардизација. Бидејќи обележувањето log x се користи за сите три основи (или кога основата е неопределена или нематеријална), основата треба да произлезе врз основа на контекстот или дисциплината. Во информатиката и математиката, вообичаено log се однесува на log₂ и log_e, соодветно. Во други контексти log често значи log₁₀.

Историјата на логаритмот почнува во седумнаесеттиот век во Европа со откритието на нова функција која прошири сферата на анализата вон опфатот на алгебарските методи. Методот со логаритми првпат бил јавно објавен од Џон Непер во 1614 година во книгата насловена Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Опис на чудесното правило на логаритмите). И пред откритието на Непер имало други техники со слични опфати како простаферезата или користењето на таблици на прогресии, кои ги развил Јост Бирги околу 1600 година.

Десетичен логаритам од број е индексот од тој степен на десет кој е еднаков тој број. Кога се зборува за број кој бара толку многу цифри е груба алузија на десетичниот логаритам и истиот Архимед го спомнува како „ред на бројот“. Првите реални логаритми биле евристички методи за множењето да премине во собирање и на тој начин да овозможи брзо пресметување. Некои од овие методи користеле таблици изведени од тригонометриски идентитети. Таквите методи се нарекуваат простафереза.

Откривањето на функцијата денес позната како природен логаритам почнало како обид да се најде површината (квадратура) на правоаголна хипербола на Грегоар де Сен-Венсан, белгиски језуит кој живеел во Прага. Архимед ја напишал Квадратура на парабола во третиот век п.н.е., но квадратурата на хипербола им одолеала на сите напори сè додека Сен-Венсан не ги објавил своите резултати во 1647 година. Односот кој логаритмот го дава меѓу геометриската прогресија и нејзиниот аргумент и аритметичката прогресија од вредности, го поттикнала А. А. де Сараса да ја поврзе квадратурата на Сен-Венсан и логаритмите во простаферезата, што доведува до терминот „хиперболичен логаритам“, синоним за природниот логаритам. Многу брзо новата функција била ценете од Кристијан Хајгенс, Патави и Џемс Грегори. Ознаката log y ја вовел Лајбниц во 1675 година. и следната година го поврзал со интегралот ${\displaystyle \int {\frac {dy}{y}}.}$ 

 

Со поедноставувањето на тешките пресметки, логаритмот придонел за напредок на науката, особено на астрономијата. Логаритмот бил од особено значење во геодетските мерења, небесната навигација и други домени. Пјер-Симон Лаплас за логаритмот рекол:

„...волшебен изум кој со намалување на работата од неколку месеци на неколку дена, го удвојува животот на астрономот, го поштедува од грешки и разочарување неодвоиви од долгите пресметки.“

Клучна алатка која овозможила практична примена на логаритмите пред сметалата (дигитроните) и сметачите биле логаритамските таблици. Првата таква таблица била составена од Хенри Бригс (математичар)Хенри Бригс во 1617 година, веднаш по Неперовото откритие. Овие таблици ги содржеле вредностите на log_bx и b^x за кој било број x во одреден опсег, со одредена точност, за одредена основа b (вообичаено b = 10). На пример, Бригсовата прва таблица ги содржела декадните логаритми од сите цели броеви во опсегот од 1 до 1000 со точност од 14 цифри. Со оглед дека функцијата f(x) = b^x е обратна функција на log_bx, наречена била антилогаритам. Производ и количник на два позитивни броја c и d рутински биле пресметувани како суми и разлика од нивните логаритми. Производот cd или количникот c/d се добива со антилогаритам од сумата или разликата, исто така и од истата табела::

${\displaystyle cd=b^{\log _{b}c}\,b^{\log _{b}d}=b^{\log _{b}c+\log _{b}d}\,}$ 

и

${\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=b^{\log _{b}c-\log _{b}d}.\,}$ 

За рачни пресметки кои бараат значителна точност, исчитувањето на двата логаритма, пресметувањето на нивната сума или разлика и исчитувањето на антилогаритмот е доста побрз отколку множењето со поранешните методи како простаферезата, која се заснова на тригонометриски идентитети. Пресметката на степени и n-ти корени се сведуваат на множење или делење и исчитувања од таблици:

${\displaystyle c^{d}=\left(b^{\log _{b}c}\right)^{d}=b^{d\log _{b}c}\,}$ 

и

${\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=b^{{\frac {1}{d}}\log _{b}c}.\,}$ 

Многу логаритамски таблици ги изразуваат логаритмите како мантиса и одлика од x, односно како целоброен дел и децимален дел од log₁₀x. Одликата на 10 • x е еден плус одликата на x, а нивните мантиси се исти. Ова го проширува опфатот на логаритамските таблици: со дадена таблица log₁₀x за сите цели броеви x од 1 до 1000, логаритам од 3542 се апроксимира со

${\displaystyle \log _{10}3542=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}354.2\approx 1+\log _{10}354.\,}$  Поголема точност може да се добие со интерполација.

Друга важна апликација бил логаритмарот, пар на логаритамски поделени скали за пресметка како што е илустрирано на сликата.

 

Неподвижна логаритамска скала, била измислено кратко по откритието на Непер. Вилијам Отред го подобрил и создал логаритмар – пар на логаритамски скали подвижни една во однос на другата. Броевите се поставени на подвижните скали на растојанија пропорционални на разликите меѓу нивните логаритми. Лизгањето на горната скала соодветствува на механичко додавање логаритми. На пример, со додавање на растојание од 1 до 2 на долната скала на растојанието од 1 до 3 на горната скала дава производ 6, што се отчитува на долниот дел. Логаритмарот бил суштинска алатка за сметање за инженерите и научниците сè до 1970-тите години бидејќи овозможува, за сметка на точноста, многу побрзи пресметки отколку техниките засновани на таблици.

За подлабока студија на логаритмите неопходен е концептот на функција (математика)функција. Функција е правило според кое за даден број се добива друг. Пример за функција која го дава x-ти степен од b од кој било реален број x, каде основата b е фиксен број. Функцијата се запишува: ${\displaystyle f(x)=b^{x}.\,}$ 

Логаритамска функција

За да се поткрепи дефиницијата за логаритам, неопходно е да се покаже дека равенката

${\displaystyle b^{x}=y\,}$ 

има решение x и дека тоа решение е единствено, под услов y да е позитивен, а b е позитивен и различен од 1. За доказ на овој факт потребна е теоремата за средна вредност од елементарната математичка анализа. Според оваа теорема непрекината функција која дава две вредности m и n исто така дава која било вредност која лежи меѓу m и n. Функција е непрекината ако нема "скокови", што значи дека нејзиниот график може да се исцрта без подигање на моливот.

Може да се покаже дека ова својство важи за функцијата f(x) = b^x. Бидејќи f може да има произволно големи и произволно мали позитивни вредности, кој било број y > 0 лежи меѓу f(x₀) и f(x₁) за соодветно x₀ и x₁. Оттука, теоремата за средна вредност осигурува дека равенката f(x) = y има решение. Освен тоа, постои само едно решение на оваа равенка, бидејќи функцијата f е монотоно растечка функција (за b > 1), или монотоно опаѓачка (за 0 < b < 1).

Единственото решение x логаритам од y со основа b, log_by. Функцијата која на y му го доделува неговиот логаритам се нарекува логаритамска функција (или само логаритам).

Главната одлика на функцијата log_bx е формулата за нејзиниот производ

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.}$ 

поточно, логаритам со која било основа b > 1 е единствената растечка функција f од позитивните реални броеви кои го задоволуваат f(b) = 1 и

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$ 

Обратна функција

 

Формулата за логаритам од степен на кој било број x е,

${\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}b=x.}$ 

Искажано со зборови, x-ти степен на b и потоа логаритам со основа base-b дава x. Обратно, за даден позитивен број y, формулата

${\displaystyle b^{\log _{b}y}=y}$ 

Кажува дека прво вадење логаритам, а степенување го дава истиот број y. Според тоа, двете можни комбинации од логаритмирање и степенување го даваат оригиналниот број. Значи, логаритам со основа b е обратна функција на f(x) = b^x.

Обраните функции се тесно поврзани со оригиналните функции. Нивните графици меѓусебно кореспондираат со промена на x и y координатите (или по огледално пресликување на дијагоналната линија x = y), како што е прикажано десно: точката (t, u = b^t) на графикот f одговара на точката (u, t = log_bu) на графикот на логаритамот и обратно. Како последица на тоа, log_b(x) дивергираат во бесконечност (станува поголем од кој било даден број) ако x расте во бесконечност, под услов b да е поголем од еден. Во тој случај, log_b(x) е растечка функција. За b < 1, log_b(x) тежи кон минус бесконечност. Кога x се приближува до нула, log_bx оди во минус бесконечност за b > 1 (плус бесконечност за b < 1, соодветно).

Извод и антиизвод

 

Аналитичките својства на функциите преминуваат на нивните обратни функции. Така, бидејќи f(x) = b^x е непрекината и диференцијабилна функција, таква е и log_by. Приближно, непрекината функција е диференцијабилна ако нејзиниот график нема остри „ќошови“. Покрај тоа, како што изводот од f(x) е ln(b)b^x согласно својствата на експоненцијалната услуга, според правилото за извод од сложени функции изводот од log_bx е даден си

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$ 

Значи, наклонот на тангентата која го допира логаритамот со основа-b во точката (x, log_b(x)) е еднаков на 1/(x ln(b)).

Изводот од ln x е 1/x; ова имплицира дека ln x единствениот антиизвод од 1/x што има вредност 0 за x =1. Ова е многу едноставна формула што навело природниот логаритам да се нарече „природен“; истото е исто така една од главните причини за битноста на константата e.

Изводот со генерализиран функционален аргумент f(x) е

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$ 

Количникот на десната страна се нарекува логаритамски извод од f. Пресметувањето f'(x) со помош на извод од ln(f(x)) е познато како логаритамско диференцирање. Антиизводот од природен логаритам ln(x) е:

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$ 

Соодветните формули, како антиизводи од логаритми со други основи може да се изведат од оваа равенка користејќи промена на основата.

Претставување на природниот логаритам со интеграл

 

Природен логаритам од t е еднаков на интеграл од 1/x dx од 1 до t:

${\displaystyle \ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$ 

Со други зборови, ln(t) е еднаков на површината меѓу оската x и графикот на функцијата 1/x, за x = 1 до x = t (сликата десно). Ова е последица на основната теорема на анализата и фактот дека извод од ln(x) е 1/x. Десната страна на оваа равенка може да служи како дефиниција на природен логаритам. Формулите за производ и степен на логаритам може да се изведат од дефиницијата. На пример, формулата за производот ln(tu) = ln(t) + ln(u) е изведена како:

${\displaystyle \ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).}$ 

Равенството (1) го дели интегралот на два дела, додека равенството (2) е промена на променливата (w = x/t). На долната илустрација, поделбата одговара на површините во жолта и сина боја. Менувајќи ја левата сина страна, вертикално за фактор t и кратејќи ја со истиот фактор хоризонтално не ја менува неговата големина. Поместувајќи ја соодветно, површината повторно одговара на графикот на функцијата f(x) = 1/x. Значи, сината површина на левата страна, која е интеграл од f(x) од t до tu е иста како интегралот од 1 до u. Ова го поткрепува равенството (2) со погеометриски доказ.

 

Формулата за степен ln(t^r) = r ln(t) може да се изведе на сличен начин:

${\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).}$ 

Второто равенство користи смена на променливите (интегрирање со смена на променливата), w = x^1/r.

Збирот од реципрочните вредности од природните броеви,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$ 

се нарекува хармониски ред. Тој е тесно поврзан со природниот логаритам: кога n тежнее кон бесконечност, разликата,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$ 

конвергира (т.е., доаѓа произволно блиску) кон број познат како Ојлер–Маскерониева константа. Овој врска помага во анализата на перформансите на алгоритми како што е квиксорт.

Постојат и некои други претставувања на логаритмот во форма на интеграл кои се корисни во некои ситуации:

${\displaystyle \ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right)}$ 
${\displaystyle \ln(x)=\int _{0}^{\infty }\,{\frac {dt}{t}}\,\left[\cos(t)-\cos(xt)\right]}$ 

Првиот идентитет може да се верифицира со покажување дека тој има иста вредност во x = 1, и ист извод. Вториот идентитет може да се докаже запишувајќи

${\displaystyle {\frac {1}{t}}=\int _{0}^{\infty }\,dq\,e^{-qt}}$ 

и вметнувајќи Лапласова трансформација на cos(xt) (и cos(t)).

Трансценденција на логаритмот

Реалните броеви кои не се алгебарски се нарекуваат трансцендентни; на пример, π и е се такви броеви, но ${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$  не е. Логаритмот е пример за трансцендентна функција. Гелфонд–Шнајдеровата теорема тврди дека вообичаено логаритмите земаат трнсцендентни, т.е., „тешки“ вредности.

 

Во некои случаи логаритмите лесно се пресметуваат, на пример log₁₀(1000) = 3. Во општ случај, логаритмите може да се пресметаат користејќи степенени редови или аритметичко-геометриска средина, или со вадење податоци од претходно пресметанa логаритамска таблица која обезбедува фиксна точност. Њутновиот метод, итеративен метод за приближно решавање на равенки, може исто така да се користи за пресметување логаритам, бидејќи неговата обратна функција, експоненцијалната функција, може ефикасно да се пресмета. Користејќи таблици, за пресметување на логаритми може да се користат методи слични на методата CORDIC, доколку на располагање се само собирањето и поместувањето (шифт) на битови. Освен тоа, двоичниот логаритамски алгоритам го пресметува lb(x) рекурзивно заснован на повторени коренувања на x, искористувајќи ја предноста на релацијата

${\displaystyle \log _{2}(x^{2})=2\log _{2}(x).\,}$ 

Степенени редови

Тејлоров ред

 

За кој било реален број z кој задоволува 0 < z < 2, важи следната формула:

${\displaystyle \ln(z)={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots }$ 

Ова е скратеница за исказот дека ln(z) може да биде апроксимиран до сè поточна вредност со следните изрази:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}}$ 

На пример, со z = 1,5 третата апроксимација дава 0,4167, што е околу 0,011 повеќе од ln(1,5) = 0,405465. Овој ред го апроксимира ln(z) со произволна точност, под услов бројот на собироци да е доволно голем. Во елементарната математичка анализа, ln(z) е гранична вредност на редот. Тоа е Тејлоров ред од природен логаритам во z = 1. Тејлоровиот ред од ln(z) обезбедува особено корисна апроксимација за ln(1+z) кога z е мал, |z| < 1, бидејќи тогаш

${\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}\cdots \approx z.}$ 

На пример, со z = 0,1 првата апроксимација дава ln(1,1) ≈ 0,1, што е за 5% помала од коректната вредност 0,0953.

Поефикасен ред

Друг ред се заснова на функцијата на површина на хиперболична тангента:

${\displaystyle \ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),}$ 

за кој било реален број z > 0. Користејќи го сигма обележувањето, истото може да се напише како

${\displaystyle \ln(z)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2n+1}.}$ 

Овој ред може да се изведе од горниот Тејлоров ред. Истиот конвергира побрзо отколку Тејлоровиот ред особено ако z е блиско до 1. На пример, за z = 1,5, првите три члена од вториот ред апроксимира ln(1,5) со грешка од околу 3⋅10^-6. Брзата конвергенција на z блиско до 1 може да се искористи како предност на следниов начин: за дадена апроксимација со мала точност y ≈ ln(z) и ставајќи

${\displaystyle A={\frac {z}{\exp(y)}},\,}$ 

логаритмот од z е:

${\displaystyle \ln(z)=y+\ln(A).\,}$ 

Колку што е првичната апроксимација y е подобра, толку A е поблиска до 1, па неговиот логаритам може да се пресмета ефикасно. A може да се пресмета со користење на експоненцијален ред, кој конвергира брзо под услов y да не е многу голем. Пресметувањето на логаритам од поголем z може да биде сведен на помали вредности за z запишувајќи z = a • 10^b, така што ln(z) = ln(a) + b • ln(10).

За пресметување на логаритми од цели броеви може да се искористи тесно поврзан метод. Од горниот ред, следува дека:

${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.}$ 

Ако е познат логаритмот на голем цел број n, тогаш редот станува брзо конвергентен ред за log(n+1).

Апроксимација со аритметичко-геометриска средина

Аритметичко-геометриската средина дава апроксимации со голема точност за природен логаритам. Во 1982 година Сасаки и Канада покажале дека истиот бил особено брз за точност меѓу 400 и 1000 децимални места, додека методите со Тејлоров ред биле типично побрзи кога била потребна помала точност. Во нивната работа ln(x) е апроксимиран со точност 2^−p (или p битови на точност) со следната формула (благодарение на Карл Фридрих Гаус):

${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln(2).}$ 

Тука M(x,y) ја означува аритметичко-геометриската средина од x и y. Истата се добива со повторени пресметувања на средната вредност (x+y)/2 (аритметичка средина) и ${\displaystyle {\sqrt {xy}}}$  (геометриска средина) од x и y тогаш нека овие два броја станат следните x и y. Двата броја брзо конвергираат кон заедничка гранична вредност чија вредност е M(x,y). m се избира така што

${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$ 

за да се осигура бараната точност. Поголем m прави пресметката на M(x,y) да има повеќе чекори (првичните x и y се подалеку, па се потребни повеќе чекори за конвергирање) но дава поголема точност. Константите pi и ln(2) може да се пресметаат со брзоконвергирарчки ред.

Фајнманов алгоритам

Додека работел на проектот Менхетен во Националната лабораторија Лос Аламос, Ричард Фајнман развил алгоритам сличен на алгоритмот за делење кој подоцна бил искористен во Конекшен машин (Connection Machine). Алгоритмот го користи фактот што секој реален број ${\displaystyle 1$  е еднозначно претставен како производ од посебни множители во форма ${\displaystyle 1+2^{-k}}$ . Алгоритмот секвенцијално го гради тој производ ${\displaystyle P}$ : ако ${\displaystyle P\cdot (1+2^{-k})$ , потоа го менува ${\displaystyle P}$  во ${\displaystyle P\cdot (1+2^{-k})}$ . Потоа го зголемува ${\displaystyle k}$  за еден. Алгоритмот запира кога ${\displaystyle k}$  е доволно голем за да ја даде бараната точност. Бидејќи ${\displaystyle \log(x)}$  е збир од членови во форма ${\displaystyle \log(1+2^{-k})}$  што одговараат на оние ${\displaystyle k}$  за кои множителот ${\displaystyle 1+2^{-k}}$  бил вклучен во производот ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle \log(x)}$  може да биде пресметан со едноставно собирање користејќи ја таблицата на ${\displaystyle \log(1+2^{-k})}$  за сите ${\displaystyle k}$ . За логаритамската таблица може да се користи која било основа.

 

Логаритмите имаат многу примени во и вон математиката. Некои од овие појави се однесуваат на поимот инваријанса на скалата. На пример, секој простор од школката наутилус е приближна копија од следниот, во размер со константен фактор. Ова води до логаритамска спирала. Бенфордовиот закон за распределба на водечките цифри исто така може да се објасни со инваријанса на скалата. Логаритмите исто така се поврзани со самосличноста. На пример, логаритмите се појавуваат при анализа на алгоритми кои решаваат проблем со негово делење на два помали проблеми и поправајќи ги нивните решенија. Димензиите на самослични геометриски облици, односно облици чии делови личат на целокупната слика се исто така засновани на логаритми. Логаритамските скали се корисни за квантифицирање на релативните промени на вредноста за разлика од нејзината апсолутна разлика. Покрај тоа, бидејќи логаритамската функција log(x) расте многу бавно за големи x, логаритамските скали се користат за компресија на научни податоци во големи размери (голем однос меѓу малите и големите податоци). Логаритмите исто така постојат во бројни научни формули како во формулата на Циолковски, Фенскеовата равенка, Нернстовата равенка.

Логаритамска скала

 

Научните количини често се изразуваат како логаритми од други количини користејќи логаритамска скала. На пример, децибелот е единица мерка поврзана со количини на логаритамска скала. Се заснова на десетичниот логаритам од соодносите - 10 пати десетичен логаритам од сооднос на моќности или 20 пати десетичен логаритам од сооднос на напони. Се користи за да се квантифицира загубата на напонски нивоа при пренос на електрични сигнали, да се опишат нивоата на моќност на звуците во акустиката, и апсорпцијата на светлината во полињата на спектрометријата и оптиката. Односот сигнал/шум кој ја опишува количината на несакан шум во однос на сигналот исто така се мери во децибели. На слична тема, вршниот однос сигнал/шум вообичаено се користи за да се оцени квалитетот на звукот и методите на компресија на слика користејќи логаритам.

Силата на земјотресот се мери со земање десетичен логаритам од емитираната енергија. Ова се користи во скалата на моментна магнитуда или во Рихтеровата скала. На пример, земјотрес со магнитуда 5,0 ослободува 32 пати (10^1,5), а со магнитуда 6,0 ослободува 1000 пати (10³) од енергијата на земјотрес со магнитуда 4,0. Друга логаритамска скала е привидната ѕвездена величина. Истата ја мери сјајноста на ѕвездите логаритамски. Уште еден пример е pH во хемијата; pH е минус од десетичниот логаритам од активност од јони од хидрониум (облик на водородни јони H⁺ во вода). Активноста на хидрониумските јони во неутрална вода е 10⁻⁷ mol•L⁻¹, па оттука pH е 7. Киселината има типичен pH од околу 3. Разликата од 4 соодветствува со односот 10⁴ од активноста, што значи, активноста на хидрониумски јон на киселина е околу 10⁻³ mol•L⁻¹.

Полулогаритамските графици го користат концептот на логаритамска скала за визуелизација: една оска, вообичаено вертикалната е градирана логаритамски. На пример, графикот десно го компресира стрмиот пораст од 1 милион на 1 трилиони со истата стапка (на вертикалната оска) како порастот од 1 до 1 милион. На таквите графици, експоненцијалните функции во облик f(x) = a • b^x се јавуваат како прави линии со наклон еднаков на логаритам од b. Логаритамско-логаритамски графици со двете оски градирани логаритамски, при што функциите во облик f(x) = a • x^k се изразени како прави линии чиј наклон е еднаков на експонентот k. Ова се применува за визуелизација и анализи на степенени закони.

Психологија

Логаритмите се јавуваат во неколку закони кои ја опишуваат човечката перцепција: Хиковиот закон предлага логаритамски однос меѓу времето кое е потребно да поединци изберат алтернатива и бројот на алтернативи што го имаат. Фитовиот закон предвидува дека потребното време за брзо преместување во целната област е логаритамска функција од растојанието до целта и големината на целта. Во психофизиката, Вебер-Фехнеровиот закон предлага логаритамски однос меѓу дразбата и осетот како што е актуелната спроти перципираната тежина што ја носи едно лице. (Овој „закон“ сепак е понепрецизен од поновите модели како што е Стивенсовиот степенен закон.)

Психолошките студии покажале дека лицата со мало математичко образование тежнеат да ги проценуваат количините логаритамски, односно тие ги позиционираат броевите на необележана линија според нивните логаритми, така што 10 е поставен еднакво блиску до 1000 како што е 100 до 1000. Зголеменото образование го поместува ова кон линеарна процена (позиционирање на 1000 10 пати подалеку) во некои околности, додека логаритмите се користат кога броевите кои треба да се претстават е тешко да се постават линеарно.

Теорија на веројатност и статистика

 

 

Логаритмите се јавуваат во теоријата на веројатноста: законот на големите броеви диктира дека, за фер паричка, како што бројот на фрлања на паричката се зголемува кон бесконечност, посматраниот однос на аверси се приближува кон половина. Флуктуациите на овој однос околу една половина се опишани со законот за итеративен логаритам.

Логаритмите исто така се јавуваат и во нормални логаритамски дистрибуции. Кога логаритам од случајна променлива има нормална распределба, се вели дека променливата има нормална логаритамска распределба. Нормалните логаритамски распределби се среќаваат во многу полиња, секаде каде променливата е формирана од производ од бројни независни позитивни случајни променливи, на пример во изучувањето на турбуленција.

Логаритмите се користат за процена на максимална возможност на параметарски статистички модели. За ваков модел, функцијата на возможност зависи од најмалку еден параметар што треба да се процени. Максимумот на функцијата на возможност се јавува при иста параметарска вредност како и максимумот на логаритмот од возможноста ("log возможност"), бидејќи логаритмот е растечка функција. Логаритамската возможност е полесно да се максимизира, особено за мултиплицирани возможности за независни случајни променливи.

Бенфордовиот закон ја опишува појавата на цифри во бројни податочни групи, како што се висини на згради. Според Бенфордовиот закон, веројатноста првата децимална цифра од една ставка во податочниот примерок е d (од 1 до 9) е еднаква log₁₀(d + 1) − log₁₀(d), без разлика од единицата мерка. Така, може да се очекува дека околу 30% од податоците да имаат прва цифра 1, 18% почнуваат со 2, итн. Ревизорите ги проучуваат девијациите од Бенфордовиот закон за да откријат измамничко сметководство.

Комплексност на пресметки

Анализата на алгоритми е гранка на информатика што ги проучува перформансите на алгоритмите (сметачки програми кои решаваат одреден проблем). Логаритмите се корисни за опишување на алгоритмите кои го делат проблемот на помали делови и се вклучуваат при решавање на потпроблемите.

На пример, да се најде број во подреден список, алгоритам за двоично пребарување го проверува средниот запис и продолжува со половина пред или по средниот запис доколку бројот сè уште не е пронајден. Овој алгоритам во просек бара log₂(N) споредби, каде N е должината на списокот. Слично, алгоритмот за сортирање со спојување подредува неподреден список со делење на списокот на половини и подредувајќи ги истите пред да ги спои резултатите. Овој алгоритам типично бара време приближно пропорционално на N • log(N). Тука не е специфицирана основата на логаритмот бидејќи резултатот се менува само за константен фактор кога се користи друга основа. Вообичаено константниот фактор се занемарува при анализата на алгоритми според стандардниот модел на униформен трошок.

За функција f(x) се вели дека логаритамски расте ако f(x) е (точно или приближно) пропорционално на логаритам од x. (Биолошките описи на растот на организам, сепак, го користат овој термин за експоненцијална функција.) На пример, кој било природен број N може да биде претставен во двоичниот облик во не повеќе од log₂(N) + 1 бита. Со други зборови, потребната памтењето за да се складира N расте логаритамски со N.

Ентропија и хаос

 

Ентгропијата е мерка на неред на некој систем. Во статистичката термодинамика, ентропијата S на некој физички систем е дефинирана со

${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,}$ 

Сумата е над сите можни состојби i на предметниот систем, како што се позициите на честички гас во контејнер. Освен тоа, p_i е веројатност дека состојбата i е достигната и k е Болцмановата константа. Слично, ентропијата во теоријата на информации ја мери количината на информации. Доколку примачот на порака може да очекува која било од N можни пораки со иста веројатност, тогаш количината на информации пренесена со која било таква порака се квантифицира како log₂(N) бита.

Љапуновите степени користат логаритми за да го оценат степенот на хаотичност на динамички систем. На пример, за честичка која се движи на овална билјардска маса, дури и мали промени на почетните услови резултираат со многу различни патеки на честичката. Таквите системи се хаотични на детерминистички начин, бидејќи мали грешки во мерењето на почетната состојба предвидливо доведуваат до големи различни конечни состојби. Најмалку еден Љапунов степен на детерминистички хаотичен систем е позитивен.

Фрактали

 

Логаритмите се јавуваат во дефинициите за димензија на фракталите. Фракталите се геометриски објекти кои се самослични: мали делови ја репродуцираат, барем грубо, целата глобална структура. Шерпињскиевиот триаголник (на сликата) може да се покрие со три негови копии, секоја со страни со половина од должината на оригиналните. Ова ја чини Хаусдорфовата димензија на оваа структура ln(3)/ln(2) ≈ 1,58. Друго логаритамско засновано обележување е добиено со броење на бројот на кутии потребни за да се покрие предметниот фрактал.

Музика

 

 

Четири различни октави прикажани на линеарна скала, потоа прикажани на логаритамска скала (како што увото ги слуша).

Логаритмите се поврзани со музичките тонови и интервали. При еднаква темперација, соодносот на честотите зависи само од интервалот меѓу два тона, не од специфичната честота, или висината на звукот, на поединечните тонови. На пример, нотата A има честота од 440 Hz и рамно B има честота од 466 Hz. Интервалот меѓу A и рамно B е полутон, е оној меѓу рамно B и B (честота 493 Hz). Соодветно на тоа, соодносот на честотите е согласно:

${\displaystyle {\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.}$ 

Следствено, логаритмите може да се користат за опис на интервалите: интервалот се мери во полутонови со логаритам base-2^1/12 од соодносот на честоти, додека логаритмот base-2^1/1200 од соодносот на честоти го изразува интервалот во центи, стотинки од полутон. Последниот се користи за фино кодирање, како што е потребно за нееднакви темперации.

Интервал (двата тона се свират во исто време)	1/12 тон ⓘ	Полутон ⓘ	Природна терца ⓘ	Терца (интервал) ⓘ	Тритонус ⓘ	Октава ⓘ
Сооднос на честоти r	${\displaystyle 2^{\frac {1}{72}}\approx 1,0097}$	${\displaystyle 2^{\frac {1}{12}}\approx 1,0595}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}=1,25}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1,2599\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1,4142\end{aligned}}}$	${\displaystyle 2^{\frac {12}{12}}=2}$
Соодветниот број на полутонови ${\displaystyle \log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle \approx 3,8631\,}$	${\displaystyle 4\,}$	${\displaystyle 6\,}$	${\displaystyle 12\,}$
Соодветниот број на центи ${\displaystyle \log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r)}$	${\displaystyle 16{\tfrac {2}{3}}\,}$	${\displaystyle 100\,}$	${\displaystyle \approx 386.31\,}$	${\displaystyle 400\,}$	${\displaystyle 600\,}$	${\displaystyle 1200\,}$

Теорија на броеви

Природните логаритми се тесно поврзани со распределбата на простите броеви (2, 3, 5, 7, 11, ...), битна тема во теоријата на броеви. За кој било цел број x, бројот на прости броеви помали или еднакви на x е изразен со π(x). Теоремата на прости броеви тврди дека π(x) е приближно даден со

${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}},}$ 

во смисла дека односот π(x) и дропката се приближува на 1 кога x тежнее кон бесконечност. Следствено, веројатноста дека случајно одбран број меѓу 1 и x е прост е обратнопропорционален на бројот на цифри на x. Далеку подобра процена на π(x) е дадена со функцијата на интегрален логаритам Li(x), дефинирана со

${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.}$ 

Римановата хипотеза, една од најстарите отворени математички претпоставки, може да се наведе споредувајќи ги π(x) и Li(x). Ердеш-Кацовата теорема која го опишува бројот на различни прости делители исто така го вклучува природниот логаритам.

Логаритам од n факториел, n! = 1 • 2 • ... • n, е даден со

${\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).\,}$ 

Ова може да се искористи за да се добие Стирлинговата формула, апроксимација за n! за големи n.

Комплексен логаритам

 

Комплексните броеви a кои е решенија на равенката

${\displaystyle e^{a}=z.\,}$ 

се нарекуваат комплексни логаритми. Тука, z е комплексен број. Комплексен број општо се означува како z = x + iy, каде x и y се реални броеви, а i е имагинарна единица. Ваков број може визуелно да се претстави со точка во комплексна рамнина, како што е прикажано десно. Поларниот облик кодира ненулов комплексен број z со неговата апсолутна вредност, односно, растојанието r до координатниот почеток, и аголот меѓу x оската и линијата која минува низ координатниот почеток и z. Овој агол се нарекува аргумент на z. Апсолутната вредност r од z е

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,}$ 

Аргументот не е еднозначно одреден од z: φ и φ' = φ + 2π се аргументи на z бидејќи со додавање 2π радијани или 360 степени на φ соодветствува на „вртење“ околу координатниот почеток во насока на стрелките на часовникот за круг. Резултатниот комплексен број е повторно z, како што е илустрирано десно. Сепак, точно само еден аргумент φ ги задоволува −π < φ и φ ≤ π. Истиот се нарекува основен аргумент, се означува Arg(z), со големо A. (Алтернативна нормализација е 0 ≤ Arg(z) < 2π.)

 

Користејќи ги тригонометриските функции синус и косинус, или комплексен експонент, соодветно, r и φ се такви што следниве идентитети важат:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&re^{i\varphi }.\end{array}}\,}$ 

Ова значи дека a-ти степен од e е еднаков на z, каде

${\displaystyle a=\ln(r)+i(\varphi +2n\pi ),\,}$ 

φ е основниот аргумент Arg(z) и n е произволен цел број. Кој било таков a се нарекува комплексен логаритам од z. Постојат бескрајно многу вакви броеви за разлика од еднозначно дефинираните реални логаритми. Ако n = 0, a се нарекува основна вредност на логаритмот означен Log(z). Основниот аргумент на кој било позитивен реален број x е 0; оттука Log(x) е реален број и е еднаков на реален (природен) логаритам. Сепак, горните формули за логаритми од производ и степен не ја обопштуваат основната вредност на комплексниот логаритам.

Илустрацијата на десната страна го прикажува Log(z). Дисконтинуитетот, односно, скокот во тонот во негативниот дел од x, или реалната оска, е предизвикан од скокот на основниот аргумент. Ова место се нарекува одгранување. Ова однесување може да е избегне само со намалување на ограничувањето за φ. Тогаш аргументот на z и, следствено, неговиот логаритам стануваат многузначни функции.

Обратни од други експоненцијални функции

Степенувањето постои во многу области на математиката и нејзината обратна функција често се нарекува логаритам. На пример, логаритмот од матрица е (многузначна) обратна функција од експонент на матрица. Друг пример е p-адичен логаритам, обратна функција на p-адичен експонент. И двата се дефинирани преку Тејлоров ред аналогно со реален случај. Во контекст на диференцијална геометрија, експоненцијалната мапа го мапира тангентниот простор во точката на многукратност во околината на таа точка. Нејзината инверзија се нарекува логаритамска мапа.

Во контекст на конечни групи степенувањето е дадено со повторено множење на еден групен елемент b со самиот себе. Дискретниот логаритам е целобројниот n кој е решение на равенката:

${\displaystyle b^{n}=x,\,}$ 

каде x е елемент од групата. Степенувањето може да се изврши ефикасно, но се верува дека е многу тешко да се пресмета дискретниот логаритам во некои групи. Оваа асиметрија има важна примена во криптографија со јавен клуч, како што е на пример случајот со Дифи-Хелмановиот протокол, рутина која обезбедува сигурна размена на криптографски клучеви преку неосигурени информациски канали. Цеховиот логаритам е поврзан со дискретниот логаритам во мултипликативна група од ненулови елементи од конечно поле.

Други обратни функции логаритамскослични ги вклучуваат двојниот логаритам ln(ln(x)), супер логаритам (негова мала варијација се нарекува итегриран логаритам во информатиката), Ламбертовата W функција и логит. Тие се обратни функции на двојната експоненцијална функција, тетрација, од f(w) = we^w, и од логистичката функција, соодветно.

Поврзани концепти

Од перспектива на теоријата на групи, идентитетот log(cd) = log(c) + log(d) го изразува изоморфизмот на групи меѓу позитивни реални броеви при множење и реалните броеви при собирање. Логаритамските функции се единствените непрекинати изоморфизми меѓу овие групи. Со помош на тој изоморфизам, Харовата мера (Лебегова мера) dx на реалните броеви соодветствува на Харовата мера dx/x за позитивните реални броеви.

Логаритамските форми df/f се јавуваат во комплексната анализа и алгебарската геометрија како диференцијални облици со логаритамски полови.

Полилогаритмот е функција дефинирана со

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$ 

Тој е поврзан со природниот логаритам со Li₁(z) = −ln(1 − z). Покрај тоа, Li_s(1) е еднаков на Римановата зета функција ζ(s).

•   Логаритам на Ризницата ^?
• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Logarithmic function“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms, Посетено на 2010-10-12
• Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, Архивирано од изворникот на 3 December 2002, Посетено на 2010-10-12

 

Статијата „Логаритам“ е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии).