Logarìtem

In dal camp edla matemâtica, al logarìtem (logaritmo in itagliàn) in na "bêś" a (pośitìva e diferèinta da 'l 1), 'd un nùmer reêl pośitìv (ciamê "argumèint", b) , 'l è 'l esponèint p ch'a gh servìs a la bêś a p'r elevèr-es a 'l argumèint b:

${\displaystyle \log _{a}b=p}$

Logarìt'm in dla bêś a ed b 'l è p, cùma dir che 'l esponèint da dèr a l'a p'r avér al b, 'l è p: (${\displaystyle b=a^{p}}$).

Proprietê di logarìtem

La sòma di logarìtem

La sòma ed soquànt logarìt'm in dla stèsa bêś a l'è cumpàgna a 'l logarìt'm in dla stèsa bêś a edla multìplica ed tùt chi só argumèint lè:

${\displaystyle \log _{a}b+\log _{a}c=\log _{a}(b\cdot c)}$

dimostrasiòun:

A ciàm:

${\displaystyle \log _{a}b=p}$ e ${\displaystyle \log _{a}c=q}$

A vōl dir dòunca, per definisiòun, che:

${\displaystyle a^{p}=b}$ e ${\displaystyle a^{q}=c}$

S'a stâg a multiplichèr al b col c, anca i èter mèmber dagli ugvagliànsi i s multiplicaràn a la stèsa manéra:

${\displaystyle b\cdot c=a^{p}\cdot a^{q}}$

Dal proprietê dal putèinsi a savòm ch'a psòm anca scrìver:

${\displaystyle bc=a^{p+q}}$

E per la definisiòun scrìta in sìma:

${\displaystyle p+q=\log _{a}(b\cdot c)}$

D'indû:

${\displaystyle \log _{a}b+\log _{a}c=\log _{a}(b\cdot c)}$

Cum'a se vlìva fèr vèder (c.v.d.).

La sotrasiòun di logarìtem

La sotrasiòun ed dū logarìt'm in dla stèsa bêś a l'è cumpàgna a 'l logarìtem in dla stèsa bêś a edla diviśiòun ed chi só argumèint lè:

${\displaystyle \log _{a}b-\log _{a}c=\log _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)}$

dimostrasiòun:

A ciàm:

${\displaystyle \log _{a}b=p}$ e ${\displaystyle \log _{a}c=q}$

A vōl dir dòunca, per definisiòun, che:

${\displaystyle a^{p}=b}$ e ${\displaystyle a^{q}=c}$

S'a stâg a divìder al b c'n al c, anca i èter mèmber dagli ugvagliànsi i s dividaràn a la stèsa manéra:

${\displaystyle {\frac {b}{c}}\ ={\frac {a^{p}}{a^{q}}}}$

Dal proprietê dal putèinsi a savòm ch'a psòm anca scrìver:

${\displaystyle {\frac {b}{c}}\ =a^{p-q}}$

E per la definisiòun scrìta in sìma:

${\displaystyle p-q=\log _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)}$

D'indû:

${\displaystyle \log _{a}b-\log _{a}c=\log _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)}$

Cum'a se vlìva fèr vèder (c.v.d.).

Al coeficìnt di logarìtem

A 'l logarìtem ch'al gh'àpia 'l argumèint cun 'n esponèint, a s pōl tōr-'gh-el vìa per druèr-el cuma coeficìnt dal logarìtem stès:

${\displaystyle \log _{a}b^{n}=n\log _{a}b}$

dimostrasiòun:

Dala:

${\displaystyle \log _{a}b=p}$

A savòm che:

${\displaystyle a^{p}=b}$

S'a stàg a elevèr i dū mèmber dl'ugvagliànsa p'r al stès esponèint n, sènd già ugvèl, i armagnaràn incòri uguèl:

${\displaystyle a^{n\cdot p}=b^{n}}$

D'indû:

${\displaystyle n\cdot p=\log _{a}b^{n}}$

E dòunca, per l'egvagliànsa scrìta piò 'd sóver:

${\displaystyle n\log _{a}b=\log _{a}b^{n}}$

Cum'a se vlìva fèr vèder (c.v.d.).

Al cambiamèint edla bêś dal logarìtem

Èter progêt

• (IT) El spiegasiòun in sìm'a 'l logarìt'm in dal wikibooks.

• Wiki Commons contiene file multimediali su Logarìtem