En matemáticas, unha progresión aritmética é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante.
Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15. . . é unha progresión aritmética con diferenza 2.
Se o termo inicial dunha progresión aritmética é e a diferenza é d, entón o termo n-ésimo da sucesión () vén dado por:
e en xeral
O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza d:
2 | + | 5 | + | 8 | + | 11 | + | 14 | = | 40 |
14 | + | 11 | + | 8 | + | 5 | + | 2 | = | 40 |
16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | = | 80 |
A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase serie aritmética. Por exemplo, considera a suma:
Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14 = 16) e dividindo entre 2:
No caso superior dá a ecuación:
Esta fórmula funciona para calquera números reais e . Por exemplo:
Para derivar a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes:
Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con d:
Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación:
Unha forma alternativa aparece volvendo substituír: :
Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como: :
No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no Aryabhatiya (sección 2.18).
O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con a1, ten diferenza d, e n elementos está determinado pola expresión
onde denota o factorial crecente e a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se é un enteiro negativo ou cero.
Isto é unha xeneralización do feito de que o produto da progresión vén dado polo factorial e que o produto
para enteiros positivos e vén dado por
No exemplo superior, o produto dos 50 primeiros termos da progresión aritmética dada por an = 3 + (n-1)(5) é
A desviación típica dalgunha parte das progresións aritméticas pode calcularse mediante:
onde é o número de termos da progresión e a diferenza entre os termos.
This article uses material from the Wikipedia Galego article Progresión aritmética, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Todo o contido está dispoñible baixo a licenza CC BY-SA 4.0, agás que se indique o contrario. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Galego (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.