Αριθμητική Πρόοδος

Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το ${\displaystyle \nu }$, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους ορισμούς:

• Γενικός τύπος: ${\displaystyle \alpha _{\nu }=\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega }$, όπου ορίζεται ο ${\displaystyle \nu }$-οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
• Αναδρομικός τύπος: ${\displaystyle \alpha _{\nu +1}=\alpha _{\nu }+\omega }$ για ${\displaystyle \nu \geq 1}$, όπου ορίζεται ο ${\displaystyle \nu }$-οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Για παράδειγμα, για ${\displaystyle \alpha _{1}=4}$ και ${\displaystyle \omega =5}$, οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι

${\displaystyle \alpha _{1}=4,\alpha _{2}=9,\alpha _{3}=14,\alpha _{4}=19,\ldots }$

και για ${\displaystyle \alpha _{1}=3}$ και ${\displaystyle \omega =-7}$

${\displaystyle \alpha _{1}=3,\alpha _{2}=-4,\alpha _{3}=-11,\alpha _{4}=-18,\ldots }$

Η αριθμητική πρόοδος ικανοποιεί την γραμμική αναδρομική σχέση πρώτου βαθμού με σταθερούς συντελεστές και σταθερή οδηγό συνάρτηση.^:6:113-116

 

• Αν ${\displaystyle \omega =1}$  και ${\displaystyle \alpha _{1}=1}$  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: ${\displaystyle \alpha _{1}=1,\alpha _{2}=2,\alpha _{3}=3,\ldots }$ .
• Αν ${\displaystyle \omega =2}$  και ${\displaystyle \alpha _{1}=2}$  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: ${\displaystyle \alpha _{1}=2,\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=6,\ldots }$ . Αντίστοιχα, για ${\displaystyle \omega =-2}$  και ${\displaystyle \alpha _{1}=-2}$ , είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: ${\displaystyle \alpha _{1}=-2,\alpha _{2}=-4,\alpha _{3}=-6,\ldots }$ .
• Αν ${\displaystyle \omega =2}$  και ${\displaystyle \alpha _{1}=1}$  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: ${\displaystyle \alpha _{1}=1,\alpha _{2}=3,\alpha _{3}=5,\ldots }$ . Αντίστοιχα, για ${\displaystyle \omega =-2}$  και ${\displaystyle \alpha _{1}=-1}$ , είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: ${\displaystyle \alpha _{1}=-1,\alpha _{2}=-3,\alpha _{3}=-5,\ldots }$ .

• Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{\nu },\ldots }$  με ${\displaystyle \alpha _{\nu }\neq 0}$  ώστε η ακολουθία: ${\displaystyle {\tfrac {1}{a_{1}}},{\tfrac {1}{a_{2}}},\ldots ,{\tfrac {1}{a_{\nu }}}}$ , αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο.
• Αν ${\displaystyle (\alpha _{\nu })_{\nu =1}^{\infty }}$  είναι μία γεωμετρική πρόοδος με ${\displaystyle \alpha _{\nu }>0}$  και λόγο ${\displaystyle \lambda }$ , τότε η ακολουθία ${\displaystyle \beta _{\nu }=\log \alpha _{\nu }}$  είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ${\displaystyle \omega =\log \lambda }$ , καθώς ${\displaystyle \beta _{\nu }=\log \alpha _{\nu }=\log(\alpha _{1}\lambda ^{\nu -1})=\log \alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \log \lambda }$ .

Γενικός σε αναδρομικό τύπο

Ξεκινώντας από τον γενικό τύπο έχουμε ότι ${\displaystyle \alpha _{\nu +1}=\alpha _{1}+\nu \cdot \omega =(\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega )+\omega =\alpha _{\nu }+\omega }$ , και επομένως οδηγούμαστε στον αναδρομικό.

Αναδρομικός σε γενικό τύπο

Για να αποδείξουμε τον γενικό τύπο από τον αναδρομικό, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για όλους τους φυσικούς αριθμούς ${\displaystyle \nu }$ .^: 424

Βασική Περίπτωση: Για ${\displaystyle \nu =1}$ , έχουμε ότι ${\displaystyle \alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega =\alpha _{1}+(1-1)\cdot \omega =\alpha _{1}}$ .

Επαγωγική Περίπτωση: Αν ισχύει για ${\displaystyle \nu =\kappa }$ , δηλαδή ${\displaystyle \alpha _{\kappa }=\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega }$ , θα δείξουμε ότι ισχύει και για ${\displaystyle \nu =\kappa +1}$ . Από τον αναδρομικό τύπο,

${\displaystyle \alpha _{\kappa +1}=\alpha _{\kappa }+\omega =\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega +\omega =\alpha _{1}+\kappa \cdot \omega .}$ 

Επομένως ισχύει και για ${\displaystyle \nu =\kappa +1}$  και έτσι για όλους τους φυσικούς αριθμούς ${\displaystyle \nu }$ .

 

Μονοτονία

Καθώς ${\displaystyle \omega =\alpha _{\nu +1}-\alpha _{\nu }}$ , προκύπτει άμεσα ότι:

• Αν ${\displaystyle \omega >0}$ , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
• Αν ${\displaystyle \omega <0}$ , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
• Αν ${\displaystyle \omega =0}$ , η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

Γραφική παράσταση

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με ${\displaystyle \omega }$ .

Άθροισμα πρώτων όρων

Το άθροισμα των ${\displaystyle \nu }$  πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου ${\displaystyle \alpha _{\nu }}$  (με πρώτο όρο τον ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ) ισούται με^{: 127 : 87 : 425}

${\displaystyle \Sigma _{\nu }:=\sum _{\kappa =1}^{\nu }\alpha _{\kappa }={\frac {\nu (\alpha _{1}+\alpha _{\nu })}{2}}=\alpha _{1}\cdot \nu +\omega \cdot {\frac {\nu \cdot (\nu -1)}{2}}.}$ 

Σύμφωνα με κάποιες πηγές, ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα ${\displaystyle 1+2+3+\ldots +99+100}$  και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

Μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών ${\displaystyle \alpha }$  και ${\displaystyle \gamma }$  είναι ο ${\displaystyle \beta }$ , αν και μόνο αν οι όροι ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ , ${\displaystyle \gamma }$  είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.^{: 126 : 88}

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της ακολουθίας

#include   int main() {    double a_1 = 4.0;    double omega = 1.5;        double a_n = a_1;    for (int n = 1; n <= 5; ++n) {      std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";      a_n = a_n + omega; // Υπολογισμός καινούργιου όρου.    }    return 0; } /* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */ 

Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων.

double arithmetic_nth(double a1, double omega, int n) {    return a1 + (n - 1) * omega; } 

Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή ${\displaystyle \Theta (n)}$  πράξεις.

double arithmetic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {    if (n == 1) return a1;    return omega + arithmetic_nth_recursive(a1, omega, n-1); } 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστικές εφαρμογές στις αριθμητικές προόδους
• Αριθμητική πρόοδος: Θεωρία και προβλήματα

Ελληνικά άρθρα

• Τ. Πατρώνης (1981). «Αριθμητικές-Γεωμετρικές Πρόοδοι, η ανάπτυξη των Μαγικών Νούφαρων και μια παράξενη μάρκα σοκολάτας». Ευκλείδης Β΄ (3): 126-130. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3119. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Hadley, John; Singmaster, David (Μαρτίου 1992). «Problems to sharpen the young». The Mathematical Gazette 76 (475): 102–126. doi:10.2307/3620384. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1992-03_76_475/page/102. 
• Stern, Martin D. (Ιουνίου 1990). «74.23 A mediaeval derivation of the sum of an arithmetic progression». The Mathematical Gazette 74 (468): 157–159. doi:10.2307/3619368. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1990-06_74_468/page/157. 
• Apostol, Tom M. (Μαρτίου 2003). «87.02 Sums of consecutive positive integers». The Mathematical Gazette 87 (508): 98–101. doi:10.1017/S002555720017216X. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-03_87_508/page/98. 
• Mullin, A. A. (Δεκεμβρίου 1972). «Problems on the Density of Arithmetic Sequences». The American Mathematical Monthly 79 (10): 1118–1119. doi:10.1080/00029890.1972.11993199. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1972-12_79_10/page/1118. 
• Simons, Stuart (Μαρτίου 2008). «92.08 Summing digits of an arithmetic sequence». The Mathematical Gazette 92 (523): 83–86. doi:10.1017/S0025557200182609. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2008-03_92_523/page/83. 
• Koshy, Thomas (Ιουλίου 2002). «Summing integer cubes using Thébault’s array of arithmetic sequences». The Mathematical Gazette 86 (506): 271–272. doi:10.2307/3621856. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2002-07_86_506/page/271. 
• Bush, Laurens Earle (Αυγούστου 1930). «On the Expression of an Integer as the Sum of an Arithmetic Series». The American Mathematical Monthly 37 (7): 353–357. doi:10.1080/00029890.1930.11987091. 

• Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος
• Γεωμετρική πρόοδος
• Αρμονική πρόοδος