Progressão Aritmética: Sequência de números com uma diferença constante entre termos consecutivos
Uma progressão aritmética (abreviadamente, P.
A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante O número é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.
Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto
Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para ou seja, que resulta que o n-ésimo termo é dado por:
Propriedades
Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o -ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do -ésimo termo por:
efeito,
Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:
ou seja, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:
Soma dos termos de uma progressão aritmética
A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de até é dada pelo produto do número de termos no intervalo, (q - p + 1), pela média aritmética dos extremos do intervalo. Ou seja, pela seguinte fórmula:
Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:
ou
Exemplo: Seja qual é a soma dos 4 primeiros números?
Demonstrações
Considerando a PA a soma de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:
Somando membro a membro, obtemos:
Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA
e assim por diante
Então, como há pares de termos:
Interpolação aritmética
Dada uma sequência finita chamamos e de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) meios entre dois números dados e de forma a obtermos uma progressão aritmética de termos, sendo e seus extremos.
A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de termos meios entre dois números dados e tem primeiro termo e razão:
Com efeito, vemos que tomando temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:
como queríamos.
Tipos de progressões aritméticas
Progressão aritmética constante
Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressões aritméticas constantes:
tem razão r = 0
tem razão r = 0
Progressão aritmética crescente
Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).
Exemplos de progressões aritméticas crescentes:
com razão r = 2
com razão r = 3
Progressão aritmética decrescente
Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).
Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:
tem razão igual a -2
tem razão igual a -3
Progressão aritmética de segunda ordem
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números em que as diferenças entre os termos consecutivos forma uma progressão aritmética. Por exemplo, a sequência:
uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos é uma progressão aritmética de primeiro termo e razão
De forma geral, uma progressão aritmética de ordem é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem .
Progressão aritmética de ordem qualquer
Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem. O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por .. a razão de ordem k por De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência. Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores. Em geral, para uma sequência de ordem são necessários valores. Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por:
O coeficiente binomial corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.
A soma dos primeiros termos da sequência () é calculada por:
Análise Polinomial
Até o momento discutimos Progressão Ariméticas de ordem qualquer por meio de uma abordagem por fórmulas extensas e de pouca implementação computacional.
Porém, podemos estudar elas por meio de polinômios na variável n e grau k ou k+1 (no qual k representa a ordem da sequência analisada). Assim reduzindo o problema à uma resolução de sistema linear, extremamente importante ao utilizar um computador.
Ordem 1
Vamos começar com um caso simples que é o da progressão aritmética clássica.
Imediato que a fórmula do termo geral é um polinômio na variável n com grau 1.
Que novamente é imediato que temos uma fórmula da soma dos n primeiros termos como um polinômio na variável n com grau 2.
O sutil é ver aqui que temos apenas 2 coeficientes a determinar já que o termo independente é nulo nesse caso. Portanto, para determinarmos tanto quanto precisamos de duas equações, logo dois elementos da sequência, para determinarmos a fórmula geral (como um polinômio em n) por meio de um sistema linear 2 X 2.
Ordem 2
Com essas duas fórmulas já demonstradas verifica-se as mesmas coisas concluídas para uma progressão aritmética de ordem 1. Portanto para o termo geral achamos um polinômio de grau 2, e para a soma dos n elementos um polinômio de grau 3 com termo independente nulo.
Ordem K
Para uma progressão aritmética de grau K, podemos concluir por indução e um pouco de álgebra as seguintes ideias:
a) O termo geral pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K, portanto temos K+1 coeficientes a determinar.
B) A fórmula da soma dos n elementos pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K + 1 (termo independente nulo), portanto também K+1 coeficientes a determinar.
A beleza dessas conclusões se dá no fato de que com K + 1 elementos da sequência pode-se obter todos seus elementos tanto quanto a soma dos mesmos. O que acontece é que com essa quantia obtemos implicitamente todas as razões parciais, dessa forma, obtendo todas as informações necessárias sem nem mesmo percebemos.
Exemplificando: 1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante.
Aplicando-se a fórmula:
2) Encontrar a soma dos n primeiros termos dessa sequência (). De modo semelhante ao realizado acima:
3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.
a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.
b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de
a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do
Como vem:
Da mesma forma, para os outros dados:
Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares:
O conjunto solução desse sistema é:
Aplicando-se a fórmula para o caso obtemos
Calculando-se a expressão acima, obtém-se:
b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões e basta substituir os seus valores na fórmula de
Logo:
Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a relação de Sfifeel, diz que:
Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:
This article uses material from the Wikipedia Português article Progressão aritmética, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Conteúdo disponibilizado nos termos da CC BY-SA 4.0, salvo indicação em contrário. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Português (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.