Aritmetika Vico

Aritmetika vico estas vico de nombroj tia ke la diferenco de ĉiuj du najbaraj membroj de la vico estas konstanto. Ekzemple, la vico 3, 5, 7, 9, 11, ... estas aritmetika vico kun komuna diferenco 2.

Se la komenca membro de aritmetika vico estas ${\displaystyle a_{1}}$ kaj la komuna diferenco de najbaraj membroj estas d, do la n-a membro, de la vico estas:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Sumo de malfinia aritmetika vico se a₁ ne egalas al 0 aŭ d ne egalas al 0 estas malfinio.

La sumo de komponantoj de aritmetika vico estas nomata kiel aritmetika serio. La formulo por sumo de la unuaj n membroj de aritmetika vico estas:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.}$ 

 

Ĉi tiu formulo sekvas el la fakto ke sumo de la unua kaj la lasta membro estas la sama kiel sumo de la dua kaj la antaŭlasta, kaj tiel plu. Oni ofte diras ke ĉi tiu formulo estis esplorita de Carl Friedrich Gauss kiam lia instruisto de la tria jaro de mezlernejo petis la klason trovi sumon de la unua 100 naturaj nombroj, kaj li tuj kalkulis la respondon 5050.

La produto de komponantoj de aritmetika vico kun komenca ero ${\displaystyle a_{1}}$ , komuna distanco ${\displaystyle d}$ , kaj ${\displaystyle n}$  eroj entute, estas:

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},}$ 

kie ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$  estas la pligrandiĝanta faktorialo kaj ${\displaystyle \Gamma }$  estas la Γ funkcio. Noto ke la formulo estas ne valida se ${\displaystyle a_{1}/d}$  estas negativa entjero aŭ nulo.

Ĉi tio estas ĝeneraligo de tio ke produkto de la progresio ${\displaystyle 1\times 2\times \ldots \times n}$  estas donita per la faktorialo ${\displaystyle n!}$  kaj ke produto

${\displaystyle m\times (m+1)\times \ldots \times (n-1)\times n\,\!}$ 

por pozitivaj entjeroj ${\displaystyle m}$  kaj ${\displaystyle n}$  estas

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}}$ .

• Adicio
• Geometria vico
• Ĝeneraligita aritmetika vico
• Primoj en aritmetika vico
• Carl Friedrich Gauss