ሉል

የሉልን ይዘት V ብንለው እና ራዲየሱን r ብንለው፣ የሉሉ ይዘት እንግዲህ በዚህ ሂሳብ ቀመር ይገለጻል

${\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 

π እዚህ ላይ ፓይ ተብሎ የሚታወቀው ቋሚ ቁጥር ነው። ይህን የይዘት ቀመር የፈጠረው ግሪካዊው አርኪሜድስ ነበር።.

በአሁኑ ጊዜ ይኸው ቀመረ በአጠራቃሚ ካልኩለስ እንዲህ ሲባል ይገኛል፡ መጀመሪያ ሉሉን ኢምንትውፍረት ወዳላቸው ሥሥ ክቦች እንከትፋለን። እኒህን ክቦች በአግደመት መስመር x ጎን ለጎን እንደረድርና፡ ማለት x = 0 ሲሆን ራዲየሱ r (ወይም. y = r) የሆነው ክብ ይቀመጣል፣ x = r ሲሆን ደግሞ ራዲየሱ 0 (ወይም . y = 0) ይሆናል ማለት ነው። በዚህ መንገድ በያንዳንዷ x ላይ የይዘቱለውጥ (δV) በተቀመጠው ውድድር ክብ እና በኢምንት ውፍረቱ (δx) ብዜት ይገኛል ማለት ነው፡

${\displaystyle \!\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.}$ 

ስለዚህም አጠቃላይ ይዘቱ የያንዳንዷ ይዘት ለውጥ ድምር ነው፣ በካልኩለስ ቋንቋ፣ አጠቃላይ ይዘቱ የኢምንት ይዘቶቹ ጥርቅም ነው ማለት ነው።

${\displaystyle \!V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.}$ 

δx - ወይም ኢምንት ውፍረቱ- ወደ ዜሮ እየተጠጋ ሲሄድ እንግዲህ

${\displaystyle \!V=\int _{0}^{r}\pi y^{2}dx.}$  እናገኛለን ።

በፓይታጎራስ ቴረም እያንዳንድዱ ቦታ ላይ ይህ አይነት ዝምድና ይታያል

${\displaystyle \!r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$ 

ስለዚህም yን በ x እንዲህ በመተካት :

${\displaystyle \!V=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx.}$ 

የሚከተለው ይገኛል

${\displaystyle \!V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{x=0}^{x=r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}.}$ 

በአይነ ህሊናችን እንደምንገነዘበው፣ ይህ ይዘት ለግማሽ ሉል ብቻ ስለሚያገለግል የሙሉው ሉል ይዘት ከላይ የተጠቀሰው ቀመር እጥፍ ነው ማለት ነው። ስለዚህ በሁለት ስናበዛ

${\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$ 

የሚለውን ይሉል ይዘት ቀመር እናገኛለን።

 

የሉል የቆዳ ስፋት የተገኘው በአርኪሜድስ ሲሆን ቀመሩም እንዲህ ነው

${\displaystyle \!A=4\pi r^{2}.}$ 

በተንታኝ ጆሜትሪ፣ (x₀፣ y₀፣ z₀) ላይ አስኳሉ የሚገኝ ሉል ራዲየሱ r ቢሆን እና ነጥቦቹ (x, y, z) ላይ ቢያርፉ፣ የዚህ ሉል እኩልዮሽ እንዲህ ነው

${\displaystyle \,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$ 

እያንዳንዱ ነጥብ በፓራሜትር ሲተረጎም

${\displaystyle \,x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi }$ 
${\displaystyle \,y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \varphi \leq 2\pi {\mbox{ and }}0\leq \theta \leq \pi )\,}$ 
${\displaystyle \,z=z_{0}+r\cos \theta \,}$ 

ማናቸውም ራዲየስ ያለው ግን መሃከሉ 0 ላይ የሆነ ሉል በለውጥ ካልኩለስ ቀመሩ እንዲህ ይጻፋል:

${\displaystyle \,x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$ 

• ሉል—የተወሰነ እኩል ይዘት ካላቸው ማናቸውም የተዘጉ ቅርጾች ሁሉ ያነሰ የቆዳ ስፋት አለው።
• ሉል—የተወሰነ እኩል የቆዳ ስፋት ካላችው ማናቸው የተዘጉ ቅርጾች ሁሉ የበለጠ ይዘት አለው።

በዚህ ምክንያት የውሃ ጠብታወች እና ከሳሙና አረፋ የሚወጡ እፉየወች የሉል ቅርጽ አላቸው።

የሉል ቆዳ ስፋት ለሉሉ ግዝፈት ሲካፈል የተወሰነ ቆዳ ስፋት ይባላል፣ ቀመሩም እንዲህ ነው

${\displaystyle SSA={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}.}$