ทรงกลม

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (x₀, y₀, z₀) และรัศมี r คือทางเดินของจุด (x, y, z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}}$ 

เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็นพื้นผิวกำลังสอง ซึ่งเป็นพื้นผิวเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง

ให้ a, b, c, d, e เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง a ≠ 0 และกำหนด

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$ 

แล้วจะได้ว่าสมการ

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$ 

ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า ${\displaystyle \rho <0}$  และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของทรงกลมจินตภาพ (imaginary sphere) ถ้า ${\displaystyle \rho =0}$  แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$  คือจุด ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$  และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของทรงกลมจุดเดียว (point sphere) และในกรณีที่ ${\displaystyle \rho >0}$  สมการ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$  เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ ${\displaystyle P_{0}}$  และมีรัศมีเท่ากับ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$ 

ถ้า a ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$  เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อนันต์

ปริมาตร

 

ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}}$ 

เมื่อ r คือรัศมี และ d คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า ทรงกระบอกล้อมรอบของทรงกลม (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น

เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้หลักการของคาวาเลียรี (Cavalieri's principle) นอกจากนี้อาจใช้แคลคุลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยการอินทิเกรตแบบจานเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม

พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี r คือ

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ 

อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่

ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด

สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ

ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

หมายเหตุ

อ้างอิง