Сан E

Иррациональ сан Чын константа|inline=1}}
Исәпләү системасы	${\displaystyle e}$ санына баса
Икеле исәпләү системасы	10,101101111110000101010001011001…
Унарлы исәпләү системасы	2,7182818284590452353602874713527…
Ун алтылы исәпләү системасы	2,B7E151628AED2A6A…
Алтмышлы исәпләү системасы	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рациональ якынлаулар	8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544 (төгәллеге арта бару тәртибендә тезеп язылган)
Дәвамлы вакланма	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Бу дәвамлы вакланма периодлы түгел. Сызыклы нотацияда язылган)

e — математик константа, иррациональ һәм трансцендент сан, натураль логарифмның нигезе. Якынча 2,71828 тигез. Кайвакыт ${\displaystyle e}$ санын Эйлер саны яки Непер саны дип атыйлар. Бәләкәй «e» латин хәрефе белән тамгалана.

e саны дифференциаль һәм интеграль исәпләүдә, шулай ук математиканың башка күп бүлекләрендә мөһим роль уйный. ${\displaystyle e^{x}}$ функциясе (экспонента) «үз-үзенә» интеграцияләнә һәм дифференцияләнгәнлектән, ${\displaystyle e}$ нигезе буенча логарифмнар натураль логарифм итеп кабул ителәләр.

e санына берничә ысул белән билгеләмә бирергә мөмкин.

• Чикләмә аша:
  ${\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}$  (икенче бик якшы чикләмә).
  ${\displaystyle e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg (}{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}}$  (Муавр — Стирлинг формуласы).
• Рәт суммасы буларак:
  ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$  яки ${\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$ .
  ${\displaystyle \int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.}$  шарты үтәлгән бердән-бер ${\displaystyle a}$  саны буларак.
  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.}$  тигезлеге дөрес булган бердән-бер уңай ${\displaystyle a}$  саны буларак.

• Экспонентаның чыгарылмасы экспонентаның үзенә тигез:${\displaystyle {\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.}$ 
  Бу үзенчәлеге дифференциаль тигезләмәләрне эшләгәндә мөһим роль уйный. Шулай, мәсәлән, ${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=f(x)}$  дифференциаль тигезләмәсенең бердән-бер чыгарылышы булып ${\displaystyle f(x)=ce^{x}}$  функциясе тора, монда ${\displaystyle c}$  — теләсә нинди константа.
• ${\displaystyle e}$  саны иррациональ һәм хәтта трансцендент сан. Аның трансцендентлыгы бары тик 1873 еллда Шарль Эрмит тарафынан исбат ителә . ${\displaystyle e}$  — саны нормаль сан дип фараз ителә, ягъни аның язылышында төрле цифрларзың очрау ихтималлыгы тигез.

Иррациональлеген исбатлау

${\displaystyle e}$  саны рациональ дип уйлыйк. Ул чакта ${\displaystyle e=p/q}$ , монда ${\displaystyle p}$  — бөтен, ә ${\displaystyle q}$  — натураль сан. Димәк ${\displaystyle p=eq}$  Тигезлектең ике ягын да ${\displaystyle (q-1)!}$ -га тапкырлап, табабыз ${\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}}$  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}}$ -ны сул якка чыгарабыз: ${\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}}$  Уң яктагы бөтен кушылучылар да бөтен, шулай булгач, сул яктагы сумма да бөтен. Ләкин бу сумма уңай да, димәк, ул 1-дән бәләкәй түгел. Икенче яктан, ${\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}}$  Уң яктагы геометрик прогрессиянең суммасын исәпләп, табабыз: ${\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}}$  ${\displaystyle q\geq 1}$  булганлыктан, ${\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1}$  Капма-каршылыкка киләбез.

• e саны исәпләп була торган сан (димәк, арифметик сан да) булып тора.
• ${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}$ , Эйлер формуласын кара, аерым очракта
  • ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$ 
  • ${\displaystyle e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)}$ 
• ${\displaystyle e}$  һәм ${\displaystyle \pi }$  саннарын бәйләүче тагын формулалар:
• «Пуассон интегралы» яки «Гаусс интегралы» дип йөртелгән формулалар
  ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}$ 
• чикләмә
  ${\displaystyle e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg (}{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}}$ 
• Теләсә нинди z комплекслы саны өчен түбәндәге тигезлекләр дөрес:
  ${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$ 
• e саны түбәндәгечә чиксез чылбырлы вакланмага таркала:
  ${\displaystyle e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]}$ , ягъни
  ${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 
• Яки аңа эквивалентлы:
  ${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}}$ 
• Күп сандагы тамгаларны тиз исәпләү өчен икенсе таркатманы куллану уңайлырак:
  ${\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}}$ 
• ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$ 
• Евгений-Шарль Каталан тәкдим иткәнчә:
  ${\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots }$ 
• Кабатлау аша күрсәтү:
  ${\displaystyle e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}}$ 
• Белл саны аша

${\displaystyle e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}$ 

• ${\displaystyle e}$  санының иррациональлек үлчәме ${\displaystyle 2}$ -гә тигез (иррациональ саннар өчен мөмкин булган иң бәләкәй кыйммәт).

Бу санны кайсы бер очракта «Гаҗәеп логарифмнар таблицасын тасвирлау» (1614 ел) эше авторы шотланд галиме Джон Непер хөрмәтенә непер саны дип тә атыйлар. Ләкин бу исем бик үк бармый, чөнки анда ${\displaystyle x}$  санының логарифмы ${\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)}$ -гә тигез. Беренче тапкыр константа, Неперның югарыда телгә алынган эшенең 1618 елда бастырылып чыккан инглиз теленә тәржемәсендә яшерен рәвештә бар. Яшерен, чөнки анда бары тик натураль логарифмнарның кинематик фекерләүдән чыгып билгеләнгән таблицасы гына бар, ә константа үзе юк. Таблицаның авторы инглиз математигы Уильям Отред дип фараз ителә. Константаның үзен беренче тапкыр швейцар математигы Якоб Бернулли процентлы керемнең чикләмә зурлыгы турында мәсьәләне эшләү барышында исәпләп чыгарган. Әгәр баштагы сумма ${\displaystyle \$1}$  һәм ел азагында бер тапкыр еллык ${\displaystyle 100\%}$  өстәлсә, нәтиҗәдә сумма ${\displaystyle \$2}$  булуын ачыклаган. Ләкин шул ук процентты елына ике тапкыр өстәсәң, ул чакта ${\displaystyle \$1}$  ике тапкыр ${\displaystyle 1,5}$ -кә кабатлана, нәтиҗәдә ${\displaystyle \$1,00\cdot 1,5^{2}=\$2,25}$  килеп чыга. Процентны кварталга бер тапкыр өстәү ${\displaystyle \$1,00\cdot 1,25^{4}=\$2,44140625}$  нәтиҗәсенә китерә һ.б. алга таба шулай. Бернулли, әгәр процент өстәү ешлыгын чиксез арттырсаң, катлаулы процент очрагында процентлы керемнең чикләмәсе бар: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$  һәм бу чикләмә ${\displaystyle e~(\approx 2,71828)}$  санына тигез икәнен күрсәткән. ${\displaystyle \$1,00\cdot (1+{\frac {1}{12}})^{12}=\$2,613035...}$  ${\displaystyle \$1,00\cdot (1+{\frac {1}{365}})^{365}=\$2,714568...}$  Шулай итеп, ${\displaystyle e}$  константасы максималь ешлыктагы еллык ${\displaystyle 100\%}$  капиталлаштыру очрагында мөмкин булган максималь еллык керемне аңлата. Беренче билгеле булган, анда ${\displaystyle b}$  хәрефе белән тамгаланган, бу константаны куллану Готфрид Лейбницның 1690—1691 елларда Гюйгенс Христианга язган хатында очрый. ${\displaystyle e}$  хәрефен 1727 елда Эйлер куллана башлай, беренче тапкыр ул Эйлерның немец математигы Кристиан Гольдбахка 1731 елның 25 ноябрендә язган хатында очрый, ә бу хәреф белән беренче басмасы аның «Механика, яки аналитик тасвирланган хәрәкәт турындагы фән» хезмәте була, 1736 ел. Шуңа ярашлы, ${\displaystyle e}$  санын гадәттә Эйлер саны дип атыйлар. Соңрак кайсыбер галимнәр ${\displaystyle c}$  хәрефен куллануга карамастан, ${\displaystyle e}$  хәрефе ешрак кулланыла һәм хәзерге көндә стандарт тамгаланышы булып тора. Ни өчен нәкъ ${\displaystyle e}$  хәрефе сайланган икәне анык билгеле түгел. Бәлки, exponential («күрсәткечле», «экспоненциаль») сүзе шул хәрефтән башлануы белән бәйледер. Икенче фараз буенча, ${\displaystyle a,~b,~c}$  һәм ${\displaystyle d}$  хәрефләре башка максатларда җитәрлек еш кулланылалар, һәм ${\displaystyle e}$  беренче «буш» хәреф була. Шулай ук ${\displaystyle e}$  хәрефе Эйлер (Euler) фамилиясендә беренче хәреф булуы да игътибарга лаек.

• ${\displaystyle e}$  санын 2,7 һәм кабатланып килүче 18, 28, 18, 28 буларак истә калдырырга мөмкин.
• Мнемоник кагыйдә: ике һәм җиде, алга таба ике тапкыр Лев Толстойның туган елы (1828), алга таба туры почмаклы мөйөшлө тигезьянлы өчпочмакның почмаклары (45, 90 һәм 45 градус). Бу кагыйдәнең бер өлөшен иллюстрациялаучы шигъри мнемофраза: «Экспонентаны хәтерләүнең ысулы гади: ике һәм уннан җиде, икеләтә Лев Толстой» (туу датасы)
• Өтердән соң беренче 12 тамганы хәтердә калдырырга булышлык иткән мнемоник шигырь (сүзләрнең озынлыгы e саны цифрларын кодлый): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли.
• e кагизәләре АКШ президенты Эндрю Джексон белән дә бәйле: 2 — шул тапкыр сайланган, 7 — ул АКШ-ның җиденче президенты булган, 1828 — аның сайланган елы, ике тапкыр кабатлана, чөнки Джексон ике тапкыр сайлана. Алга таба — туры почмаклы тигезьянлы өчпочмак.
• Өтердән соң өч тамгага кадәр аныклык белән шулай аталучы «иблис саны» аша: 666-ны, 6−4, 6−2, 6−1 (өч алты, алардан кире тәртиптә икенең тәүге өч дәрәжәсе алып ташлана) цифрларынан торган санга бүлеп була: ${\displaystyle {666 \over 245}\approx 2,718}$ .
• e санын ${\displaystyle {\frac {666}{10\cdot {\sqrt {666}}-13}}}$  итеп хәтердә калдыру (0,001-дән кимрәк аныклык белән).
• Тупас (0,001-гә кадәр тәгаенлек белән) якынаю e санын ${\displaystyle \pi \cdot \cos {\pi \over 6}}$  тигез тип карый. Бөтенләй тупас (0,01-гә кадәр тәгаенлек белән) якынаю ${\displaystyle 5\cdot \pi -13}$  аңлатмасы белән бирелә.
• «Боинг-747 кагыйдәсе»: ${\displaystyle e\approx 4\cdot \sin 0,747}$  0,0005 тәгаенлеген бирә.
• ${\displaystyle 10^{-7}}$ -гә кадәр тәгаенлек белән: ${\displaystyle e\,\approx \,3-{\sqrt {\frac {5}{63}}}\,\,\,,}$  ${\displaystyle 10^{-9}\to e\approx 2,7+{\frac {1828}{99990}},}$ , ${\displaystyle 4,6\,\cdot \,10^{-10}\,\,\to \,\,e\,\approx \,3-{\frac {93}{94}}{\sqrt {\frac {3}{37}}}}$ 
• ${\displaystyle 1/e\approx (1-{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}}$ , 0,000001-гә кадәр тәгаенлек белән ;
• 19/7 саны e санынан 0,004-тән әзрәккә артык;
  • 87/32 саны e санынан 0,0005-тән әзрәккә артык;
    • 193/71 саны e санынан 0,00003-тән әзрәккә артык;
      • 1264/465 саны e санынан 0,000003-тән әзрәккә артык;
        • 2721/1001 саны e санынан 0,0000002-нән әзрәккә артык;
          • 23225/8544 саны e санынан 0,00000001-дән әзрәккә артык.
• Ян кырлары төзек өчпочмак, кабыргасының озынлыгы 1-гә тигез булган (0,005-кә кадәр тәгаенлек белән) квадрат пирамиданың өске йөзенең мәйданы.

• ${\displaystyle e}$  саны периодлар боҗрасы элементы буламы икәне билгесез.
• ${\displaystyle \pi }$  һәм ${\displaystyle e}$  саннары алгебраик бәйләнешсезме икәне билгеле түгел]].
• Түбәндәге саннарның берсе өчен дә иррациональлек үлчәме билгеле түгел: ${\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},e^{\pi ^{2}},e^{e},2^{e}.}$  Аларның берсе өчен дә, хәтта ул сан рациональ сан, алгебраик иррациональ яки трансцендент сан буламы икәнлеге дә билгеле түгел.
• Беренче Скьюз саны ${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}}$  бөтен сан буламы икәнлеге билгесез.

• 2004 елда IPO Googl компаниясендә компания үзенең керемен 2 718 281 828 долларга арттырырга ният итүе турысында игълан ителә. Игълан ителгән сан билгеле математик константаның беренче 10 цифры булып тора.
• Теоретик яктан иң җитештерүчән компьютерларзың разрядлыгы ${\displaystyle e}$ -гә тигез булырга тиеш дип исәпләнә. Өчәрле ЭВМ бу кыйммәткә якын, ләкин техник катлаулылык аркасында 1 һәм 0 кулланылган бары тик икеле компьютерлар гына таралу алган.
• Программалау телләрендә ${\displaystyle e}$  символына саннарның экспоненциаль язылышында 10 саны туры килә, ә Эйлер саны түгел. Бу математик исәпләүләр өчен FORTRAN телен төзү тарихы һәм куллану белән бәйле.

• Леонард Эйлер хөрмәтенә аталган объектлар исемлеге