Kąt: Podzbiór płaszczyzny między półprostymi o wspólnym wierzchołku

Ten artykuł dotyczy figury geometrii płaskiej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Półproste nazywane są ramionami kąta, wspólny początek półprostych nazywany jest wierzchołkiem kąta.

Kąt można też zdefiniować jako część wspólną lub jako sumę dwóch półpłaszczyzn z brzegiem wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste. Wówczas należy dodatkowo zdefiniować „kąt pełny” jako całą płaszczyznę, „kąt półpełny” jako półpłaszczyznę oraz „kąt zerowy” jako półprostą.

Gdy kąt obejmuje całą płaszczyznę (w przypadku „kąta pełnego”) pomocne bywa wyróżnienie na płaszczyźnie półprostej pełniącej rolę ramion i z jej początkiem jako wierzchołkiem kąta. Podobnie gdy ramiona dopełniają się do prostej (dając „kąt półpełny”), wyróżnia się czasem wspólny początek półprostych, tj. ustalony punkt powstałej prostej, jako wierzchołek.

W artykule opisano kąt płaski na płaszczyźnie euklidesowej z uogólnieniami w osobnej sekcji.

Osobny artykuł: miara kąta.

Kąt liczbowo wyrażony w jednostkach kąta nazywa się miarą kąta. Często, niezbyt precyzyjnie, kątem nazywa się jego miarę.

Osobny artykuł: kąt skierowany.

Kątem obrotu nazywa się miarę kąta (skierowanego) między dowolną prostą przechodzącą przez środek (punkt stały) obrotu a prostą będącą jej obrazem (wspomniane dwie proste przecinają się we wspomnianym środku wyznaczając kąt w powyższym sensie).

Kąty można też klasyfikować ze względu na pojęcia zawierania (kąty zerowy, półpełny i pełny), wypukłości (kąty wypukły i wklęsły), bądź prostopadłości lub przystawania (kąt prosty; kąty ostry i rozwarty – z zawieraniem). Ponieważ dwa kąty płaskie o równej tej samej mierze są przystające, to klasyfikacji kątów można dokonać grupując je również względem ustalonego zakresu ich miar (niżej używane będą miara łukowa wraz z miarą stopniową podaną w nawiasie):

Wyjąwszy przypadek, gdy ramiona kąta uzupełniają się do prostej (oba kąty są wtedy półpełne) lub pokrywają się (jeden z kątów jest wtedy zerowy, a drugi pełny), jeden z kątów można jednoznacznie zidentyfikować jako wypukły, drugi zaś jako wklęsły (w przeciwnym przypadku oba są wypukłe); czasem możliwe jest też wyróżnienie wśród nich kąta rozwartego bądź ostrego.

Zobacz też: prosta.

•  
  Para ${\displaystyle \alpha ,\beta }$  kątów przyległych
•  
  Kąty dopełniające ${\displaystyle \alpha ,\beta .}$ 
•  
  Kąty ${\displaystyle \alpha ,\beta }$  są wierzchołkowe
•  
  Kąty naprzemianległe wewnętrzne
•  
  Kąty naprzemianległe zewnętrzne

 

Dowolne dwie nierównoległe proste na płaszczyźnie wyznaczają dwie pary kątów: pary mające wspólne ramię nazywa się kątami przyległymi, z kolei pary mające wspólny wyłącznie wierzchołek nazywa się wierzchołkowymi. Suma miar kątów przyległych jest równa mierze kąta półpełnego, a miary kątów wierzchołkowych są równe. Kąty mające jedno wspólne ramię, pozostałe zaś leżące pod kątem prostym, nazywa się kątami dopełniającymi; suma miar kątów dopełniających jest więc równa mierze kąta prostego.

Dowolne dwie proste ${\displaystyle m,n}$  przecięte (nierównoległą do żadnej z nich) trzecią prostą ${\displaystyle t,}$  nazywaną sieczną lub transwersalą (prostą transwersalną) wyznaczają łącznie osiem kątów wokół dwóch punktów przecięcia (por. rys. obok). Pary kątów o ramionach na ustalonej prostej ${\displaystyle m}$  lub ${\displaystyle n}$  są przyległe bądź wierzchołkowe (odpowiednio: pary różnej lub tej samej parzystości z kątów ${\displaystyle \color {blue}1\color {black},\color {blue}2\color {black},\color {blue}3\color {black},\color {blue}4}$  bądź ${\displaystyle \color {red}5\color {black},\color {red}6\color {black},\color {red}7\color {black},\color {red}8}$ ).

Cztery kąty leżące między prostymi ${\displaystyle m,n}$  nazywa się wewnętrznymi ${\displaystyle (\color {blue}3\color {black},\color {blue}4\color {black},\color {red}5\color {black},\color {red}6),}$  a pozostałe cztery – zewnętrznymi ${\displaystyle (\color {blue}1\color {black},\color {blue}2\color {black},\color {red}7\color {black},\color {red}8);}$  pary kątów nieprzyległych leżących po jednej stronie prostej ${\displaystyle t}$  nazywa się jednostronnymi (różnokolorowe pary z kątów ${\displaystyle \color {blue}1\color {black},\color {blue}4\color {black},\color {red}5\color {black},\color {red}8}$  bądź z kątów ${\displaystyle \color {blue}2\color {black},\color {blue}3\color {black},\color {red}6\color {black},\color {red}7}$ ), z kolei pary kątów nieprzyległych branych z różnych stron tej prostej nazywa się naprzemianległymi (różnokolorowe pary z kątów ${\displaystyle \color {blue}1\color {black},\color {blue}4\color {black},\color {red}6\color {black},\color {red}7}$  bądź z kątów ${\displaystyle \color {blue}2\color {black},\color {blue}3\color {black},\color {red}5\color {black},\color {red}8}$ ). W ten sposób wyróżnia się po dwie pary kątów:

• jednostronnych wewnętrznych (${\displaystyle \color {blue}3\color {black},\color {red}6}$  oraz ${\displaystyle \color {blue}4\color {black},\color {red}5}$ ),
• jednostronnych zewnętrznych (${\displaystyle \color {blue}1\color {black},\color {red}8}$  oraz ${\displaystyle \color {blue}2\color {black},\color {red}7}$ ),
• naprzemianległych wewnętrznych (${\displaystyle \color {blue}3\color {black},\color {red}5}$  oraz ${\displaystyle \color {blue}4\color {black},\color {red}6}$ ),
• naprzemianległych zewnętrznych (${\displaystyle \color {blue}1\color {black},\color {red}7}$  oraz ${\displaystyle \color {blue}2\color {black},\color {red}8}$ ).

Cztery pary nieprzyległych kątów jednostronnych, które nie są wewnętrzne ani zewnętrzne, nazywa się odpowiadającymi (${\displaystyle \color {blue}1\color {black},\color {red}5;}$  ${\displaystyle \color {blue}2\color {black},\color {red}6;}$  ${\displaystyle \color {blue}3\color {black},\color {red}7}$  oraz ${\displaystyle \color {blue}4\color {black},\color {red}8}$ ).

Twierdzenie
Proste ${\displaystyle m,n}$  przecięte transwersalą ${\displaystyle t}$  są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy choć jedna para kątów wierzchołkowych bądź odpowiadających jest przystająca (równej miary).

Funkcje trygonometryczne kątów dopełniających („komplementarnych”) dany kąt nazywa się kofunkcjami: sinus kąta dopełniającego nazywa się kosinusem danego kąta, podobnie ma się rzecz z tangensem i kotangensem oraz sekansem i kosekansem. Kofunkcją dla kofunkcji danego kąta jest funkcja tego kąta, gdyż kątem dopełniającym do kąta dopełniającego dany kąt jest on sam – dlatego kofunkcją dla kosinusa, kotangensa, czy kosekansa są odpowiednio sinus, tangens i sekans. Analogiczne uwagi obowiązują dla funkcji cyklometrycznych, hiperbolicznych oraz area.

Osobne artykuły: okrąg, kąt środkowy, kąt wpisany i kąt dopisany.

 

Dowolny kąt, który wycina z okręgu ustalony łuk, nazywa się opartym na tym łuku. Kąt, którego wierzchołek leży w środku danego okręgu, nazywa się środkowym; ponieważ okrąg jest zbiorem punktów równoodległych od jego środka, to „ilość” punktów (długość łuku) wspólna z danym kątem środkowym w stosunku do ich odległości od środka opisuje „rozmiar” tego kąta – obserwacja ta została wykorzystana do określenia miary łukowej dowolnego kąta, jak przedstawiono to wyżej. Kątem wpisanym w ustalony okrąg nazywa się dowolny kąt, którego wierzchołek leży na tym okręgu, a jego ramiona są zarazem jego siecznymi, z kolei kąt dopisany do okręgu w wybranym jego punkcie, to kąt ostry o wierzchołku w tymże punkcie, którego jedno ramię jest sieczną, a drugie – styczną wspomnianego okręgu; można go traktować jako zdegenerowany przypadek kąta wpisanego, w którym jedna z siecznych staje się styczną.

Twierdzenie o kątach wpisanych
Miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są równe.
Twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym
Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartych na tym samym łuku.
Twierdzenie o stycznej i siecznej
Miara kąta dopisanego wycinającego dany łuk jest równa mierze kąta wpisanego opartego na tym łuku.

Definiuje się również kąty między innymi płaskimi figurami geometrycznymi niż (pół)proste: tego samego rodzaju, np. wektorami (analogicznie), krzywymi (w danym punkcie, w tym okręgami: jako kąt między stycznymi, o ile istnieją i są wyznaczone jednoznacznie).

Rozpatruje się także pojęcie kąta w przestrzeni trójwymiarowej i wielowymiarowej, np. między płaszczyznami (definiowane np. za pomocą wektorów normalnych), czy prostą i płaszczyzną (jako kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę).

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

• kąt wewnętrzny, kąt zewnętrzny
• kąt dwuścienny
• twierdzenie Talesa

• „Encyklopedia Matematyka”, wyd. Greg, ISBN 978-83-7517-015-3 (kąt skierowany)