Անկիւն

 

Անկիւնի երկու կողմերը պարունակող հարթութիւնը անկիւնով կը բաժնէ երկու մասերու։ Այդ մասերէն իւրաքանչիւրը, անկիւնի կողմերու հետ միաւորած կը կոչուի հարթ անկիւն(կամ պարզապէս անկիւն, եթէ այդ տարընթարցին չառաջանար)։ Հարթ անկիւններէն մէկուն կ'ըսեն ներքին (հիմնականին փոքր անկիւնը), իսկ միւսին՝ արտաքին։ Հարթ անկիւնի կէտերը, որոնք չեն պատկանիր իր կողմերուն, կը ձեւաւորեն հարթ անկիւնի ներքին տիրոյթը։

Հարթ անկիւնը հաւասարազօր կը սահմանէ հետեւեալը՝ հարթութեան մասը, որ կը հանդիսանայ տրուած կէտէն (անկիւնի գագաթներ) դուրս եկող ճառագայթներու եւ այդ հարթութեան մէջ պառկած ուղիղ (որ կը կոչուի տրուած հարթ անկիւնը ձգող ուղիղ) հատողներու միաւորումը։

Յաճախ, հակիրճութեան համար, անկիւն կ'անուանեն նաեւ անկիւնի չափը, այսինքն անկիւնի մեծութեան որոշող թիւը։

Բացի աւելի յաճախ հանդիպող հարթ անկիւններէն, որպէս անկիւն կրնան դիտարկուիլ նաեւ առաւել ընդհանուր «օպէյտ»ները՝ պատկերներ, յառաջացած հատ-հատ աղեղներով, կիսահարթութիւններով եւ այլ պատկերներով ինչպէս «էվկլիտա»ն, այնպէս ալ տարբեր չափի մեթրական տարածութիւններու ուրիշ ձեւի երկրաչափութեան մէջ։

 

 

Անկիւնի նշանակման համար գոյութիւն ունի միջազգային ${\displaystyle \angle }$  նշանակումը, որ 1634 թուականին առաջարկած է ֆրանսացի թուաբանագէտ Փիէր Էրիգսոնը։

Թուաբանական արտայայտութիւններուն մէջ անկիւնները հիմնականին կը նշանակեն յունարէն տառերով՝ α, β, γ, θ, φ եւ այլն։ Որպէս կանոն տուեալ նշանակումը կ'օգտագործուի նաեւ գծագրութեան մէջ, անկիւնի ներքին տիրոյթը հստակեցնելու համար։ Որպէսզի «π» նշանը օգտագործելու խնդիրներ չառաջանան «փի» թիւին հետ, ապա անկիւն նշանակելու «π» նշանը չեն օգտագործեր։ Մարմնային անկիւնները նշանակելու համար (տե՛ս ներքեւը) յաճախ կ'օգտագործեն ω եւ Ω տառերը։

Անկիւնը նշանակութիւն ունի նաեւ 3 կէտերու տառերով, օրինակ ${\displaystyle \angle ABC}$ ։ Այսպիսի գրման մէջ ${\displaystyle B}$ -ն գագաթն է, իսկ ${\displaystyle A}$ -ը եւ ${\displaystyle C}$ -ն՝ միւս կէտերը տարբեր կողմերուն վրայ։

Աւելի քիչ տարածուած է անկիւնի երկու կողմերով նշանակութիւնը։ Օրինակ, ${\displaystyle \angle (bc)}$ -ն, հոս կ'ենթադրուի, որ նկատի կ'ունենանք ${\displaystyle \angle BAC}$  եռանկեան α ներքին անկիւնը, որ պէտք էր նշանակել ${\displaystyle \angle (bc)}$ ։

Այսպիսով, աջ կողմի նկարին վրայ γ, ${\displaystyle \angle ACB}$  եւ ${\displaystyle \angle (ba)}$  նշանակումները ունին «միեւնոյն անկիւնը» նշանակումը։

Երբեմն, անկիւնները նշելու համար կ'օգտագործեն (a, b, c, …) լատինական տառերն ու թիւերը։

Գծագրութիւններու վրայ անկիւնները կը նշանակուին երկակի կամ եռակի աղեղիկներով, որոնք կ'անցնին անկիւնի ներքին տիրոյթներով, անկիւնի գագաթը իբր կեդրոն։ Անկիւններուն հաւասարութիւնը կրնայ նշանակուիլ միանման աղեղիկներու կրկնութեամբ։

Անկիւնի չափը, որոնցմէ կրնանք համեմատել հարթ անկիւնները, կարող է ներմուծուիլ հետեւեալ կերպով՝ երկու հարթ անկիւններ կը կոչուին հաւասար (կամ երկրաչաբական), եթէ անոնք կարող են համատեղուիլ այնպէս, որ նոյն տեղը համախմբեն իրենց գագաթները եւ երկու կողմերը ըլլան հաւասար։ Հարթութեան վրայ ցանկացած ճառագայթէ տրուած ուղղութեամբ կարելի է տեղադրել միակ անկիւնը՝ հաւասար տրուած միւս անկիւնին։ Եթէ անկիւն մը ամբողջութեամբ կարող է տեղադրուիլ մէկ այլ անկիւնի ներքեւը այնպէս, որ այդ անկիւններուն գագաթները եւ կողմերը համատեղուին, ապա առաջին անկիւնը կ'ըլլայ աւելի փոքր քան երկրորդը։ Կից կ'անուանենք երկու անկիւններ, տեղադրուած այնպէս, որ մէկին կողմը կը համատեղուի միւսին կողմին հետ (այս կը նշանակէ, թէ նաեւ երկուքին գագաթները կը համատաեղուին), բայց իրենց ներքին տիրոյթները չեն փոխուիր։ Երկու կից անկիւններու ոչ համատեղուած կողմերով կազմուած անկիւնը կ'անուանենք այդ անկիւններուն գումար-ը։ իւրաքանչիւր անկիւնի կարելի է համապատասխանութեան մէջ դնել թիւ մը (անկիւնի չափ) այնպէս, որ՝

• հաւասար անկիւններուն կը համապատասխանէ հաւասար անկիւնային չափեր,
• փոքր անկիւնը կը համապատասխանէ փոքր անկիւնային չափի,
• անկիւնը, որուն կողմերը կը համատեղուին (զերօ անկիւն), անկիւնային չափը հաւասար է զերոյի (նոյն իրողութիւնը կը գործածուի նաեւ զուգահեռ ուղիղներու միջեւ անկիւնի համար),
• իւրաքանչիւր ոչ զերօ անկիւն ունի զերոյէն մեծ որոշակի անկիւնային չափ (այսինքն ոչ բացասական թիւեր),

Նշանակումներու որոշ համակարգերուն մէջ, եթէ անհրաժեշտութիւն կայ տարբերել անկիւնը եւ իր չափը, անկիւնին համար (երկրաչափական պատկերու) կ'օգտագործուի ${\displaystyle \angle ABC}$  նշանակումը, իսկ այդ անկոիւնին չափի մեծութեան համար՝ ${\displaystyle {\widehat {ABC}}.}$  նշանակումը։

 

Անկիւնը կը չափեն ՝

• աստիճաններով, վարկեաններով, երկվարկեաններով,
• «Ռատիան»ներով,
• պտոյտներով,
• «կրատյան»ներով, վարկեաններով, երկվարկեաններով։

Առաւել տարածուած աստիճանային չափ կը համրուի աստիճան, վարկեան, երկվարկեանը, որուն մէջ որպէս 1° կ'ընդունիուի փռուած անկիւնի 1/180-ը (տե՛ս ներքեւը), մէկ վարկեանը՝ ${\displaystyle 1'=1^{\circ }/60}$  , եւ մէկ երկվարկեանը՝ ${\displaystyle 1''=1'/60}$ ։ Աստիճանային չափը իր մէջ կիառէ «էլեմենդար» երկրաչափութեան (գծագրութիւններուն մէջ անկիւնի չափումը փոխադիրչով), «Կեոտեզ»-ի քարտէսն ու տեղանքը (տեղանքին մէջ անկիւններու չափման համար կ'օգտագործեն բազմաթիւ ճշգրիտ սարքեր՝ համաշխարհային անկիւնաչափով)։

 

Անկիւնի «ռատիան»ային չափը ձգող աղեղի s երկարութեան յարաբերութիւնն է իր r շառաւիղին(համակարգային)։ «Ռատիան»ային չափը կիրառկուի թուաբանական վերլուծման մէջ (օրինակ, որպէս եռանկիւնաչափական «ֆունկ»-ի թուային «արկիւմենդ» եւ հակադարձ «արկֆունկ»երու թուային արժէքներու (աղիւսակային եւ «կրաֆիք»ական) որոշման դէպքին մէջ, հարթաչափութեան մէջ եւ մեքանիզմի ժամանակ (կէտին կամ առանցքին շուրջը պտոյտ կատարելով) եւ այլն)։ Պտոյտը, անկիւնը ձգող աղեղի (այսինքն, ամբողջութեամբ անկիւնի ներքեւին մէջ գտնուող անկիւնի կեդրոնի գագաթին շրջանագիծի աղեղին վրայ, որուն ծայրերը կը գտնուին անկիւնի կողմերուն վրայ) s երկարութեան յարաբերութիւնն է L շրջանագիծին երկարութեան։

Անկիւններու չափման համար կրատյան չափի օգտագործման համար առաջարկուած է հինէն եկող ժամանակներէ, այժմ գրեթէ ոչ մէկ տեղ չի օգտագործուիր, որովհետեւ չի կրնար դուրս մղել առաւել տարածուած վաթսունական աստիճանները։ Անկիւնները կը չափուին աստիճանային չափով եկած հին Պապելոնէն, ուր կ'օգտագործուէր հաշիւի վաթսունական համակարգը, որուն հետքերը մեր մօտ պահպանուած են ժամանակի եւ անկիւններու բաժանման մէջ։ 1 պտոյտը = 2π «ռատիան»ներով = 360° = 400 «կրատյան»։ ՄՄՀ-ի մէջ անկիւնի չափման հիմնական միաւորը կը հանդիսանայ ռատիանը։

 

Ծովային նաւահանգիստներուն անկիւնները կը չափուին ծովայի «ռումբ»երով՝ կողմնացոյցի հատուածամասերով, 1 «ռումբ»ը հաւասար է կողմնացոյցի ամբողջ շրջանագիծին (360 աստիճան) Կաղապար:Frac, այսինքն 11,25 աստիճան, կամ 11°15′։ Աստղագիտութեան մէջ ուղիղ ծագման անկիւնը եւ ժամանակի անկիւնը հասարակածայինհամակարգին մէջ կը չափուին ժամերով, վարկեաններով եւ երկվարկեաններով (կազմելով համապատասխանաբար ամբողջ շրջանագիծի Կաղապար:Frac-ը, Կաղապար:Frac-ը եւ Կաղապար:Frac)-ը, այս կապուած է Երկիրի առանցքային պտոյտի անկիւնային արագութենէ, կազմելով մօտաւորապէս 1 պտոյտ 24 ժամուայ մէջ։ Այսպիսով, մէկ ժամ (ներառեալ վարեանին եւ երկվարկեանին) ժամանակամիջոցին մէջ աշխարհի երկրագունդը «կը պտտի» մօտաւորապէս 1 ժամ (ներառեալ վարկեանին եւ երկվարկեանին) անկիւնային չափով։ Մնացած անկիւնային մեծութիւնները աստղագիտութեան մէջ կ'արտայայտուին հիմնականին աղեղի աստիճաններով, վարկեաններով եւ երկվարկեաններով։ Սխալէ խուսափելու համար կարելի է նշել, որ ուղիղ ծագման մէկ վարկեանը հաւասար է աղեղի 15 վարկեանին։

Հրետանագիտութեան եւ զէնք կարուցման գործերուն մէջ կիրառկուին նաեւ հազարերրորդականները եւ ռազմական անկիւնաչափի բաժանումները։

Որոշ հատուածներու մէջ, ինչպէս՝ բեւեռային համակարգին մէջ, կէտի նոյնականացումը կամ «օպէյտ»ի կողմնորոշման նկարագրելը երկու չափերուն մէջ իր պարզութեան կողմնորոշուածութեան նկատմամբ, ամբողջ թիւով պտոյտներով տարբերուող անկիւնները, փաստորէն կը հանդիսանան «էքուիւալենդ»-ի։ Օրինակ, այսպիսի դէպքերու մէջ կարելի է «էքուիւալենդ» համարել 15° եւ 360015° (= 15° + 360°×1000) անկիւնները։ Ուրիշ հատուածներու մէջ, ինչպէս կէտի նոյնականացումը զսպանակաձեւ կորի վրայ կամ «օպէյտ»-ի ամբողջական պտոյտներու նկարագրութիւնը երկու չափերուն մէջ իր պարզութեան մէջ կողմնորոշուածութեան նկատմամբ, ոչ զերօ չափանիշի ամբողջ թիւով եւ ամբողջ պտոյտներով տարբերուող անկիւնները «էքուիւալենդ» չեն։

Որոշ հարթ անկիւններ ունին յատուկ անուններ։ Բացի վերը նշուած չափման միաւորներէ (ռատիան, ռումբ, աստիճան եւ այլն), իրենց թիւին կը դասուին հետեւեալ ձեւերով.

• «քուատրանդ»ներ (ուղիղ անկիւն, շրջանագծի Կաղապար:Frac մասը),
• «սեքմանդ» (շրջանագծի Կաղապար:Frac մասը),
• «օգընտ» (շրջանագծի Կաղապար:Frac մասը, բացի այդ, տարածաչափութեան մէջ «օգընտ»-ը կը կոչուի երեք, փոխադարձ ուղղահայաց հարթութիւններով կազմուած եռանկեայ անկիւնը։

 

Երբեմն անկիւնները (օրինակ մակերեւոյթի թեքութեան անկիւնը) անկարելի է չափեն անկիւնային չափով, այլ իր «դանկենզ»ով (կամ «սինուս»ով)։ Փոքր անկիւններով թեքութեան սովորական դէպքնի համար այդ յարաբերութիւնը մօտաւորապէս հաւասար է «ռատիան»ներով արտայայտուած անկիւնին(tg α ≈ sin α ≈ α, α < 0,1 դէպքին ժամանակ տարբերութիւնը այդ մեծութիւններուն միջեւ 1% է)։ Այս դէպքին յարաբերութիւնը հիմնականին կ'արտայայտուի տոկոսներով կամ «փրոմիլ»ներով։ Օրինակ, ճանապարհին 10% թեքութիւնը կը նշանակէ, որ ճանապարհի իւրաքանչիւր 100 մեթրը ճանապարհը կը բարձրացնէ 10 մեթր, հորիզոնի նկատմամբ անկիւնը հաւասար է arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 ռատիան։ Անկիւններուն նմանատիպ չափումը խիստ ըսած չի հանդիսանար անկիւնային չափի, որովհետեւ օժտուած չէ գումարումի յատկութիւններով։

Անկիւններու Հաշիւի Ուղղութիւնը

 

Թուաբանութեան եւ բնագիտութեան մէջ սովորաբար անկիւններու հաշիւի դրական ուղղութիւն կը համարուի ժամանակի հակառակ ուղղութիւնը։ Աշխարհագրութեան մէջ անկիւններու հաշիւի սկիզբը ըստ «Ազիմութ»ի ընդունուած է «դէպի հիւսիս» ուղղութիւնը, անկիւնը կը հաշուէ ժամի ուղղութեամբ։ Այսպիսով, «դէպի արեւելք» ուղղութիւնը կը համապատասխանէ «շիտակ» 90° անկիւնը, «դէպի հարաւ» — 180°, «դէպի արեւմուտք» — 270°։ Հրետանագիտութեան մէջ կը նախընտրեն բեւեռային առանցքի ուղղութիւնը «на հարաւ» եւ համապատասխան բեւեռային անկիւնը նոյնպէս կ'անուանեն «Ազիմութ»(«դէպի արեւմուտք ուղղութիւնը» կը համապատասխանէ «շիտակ» 90° անկիւնը)։

•  
  Սուր անկիւն
•  
  «Պութ» անկիւն
•  
  Կլոր անկիւն
•  
  Ուղիղ անկիւն
•  
  Փռուած անկիւն
•  
  Ամբողջ անկիւն

Կախուած անկիւնի մեծ մասերը կը կոչուին՝

• Զերօ անկիւն (0°), զերօ անկիւնին կողմերը համընկնող անոր ներքին տիրոյթը դատարկ բազմութիւնն է։
• Սուր անկիւն (0°-էն մինչեւ 90°, չի ներառեր սահմանային արժէքները)։
• Ուղիղ անկիւն (90°), ուղիղ անկիւնի կողմերը միայն փոխուղղահայաց են։
• «Պութ» անկիւն (90°-էն մինչեւ 180°, չի ներառեր սահմանային արժէքները)։
• Շեղ անկիւն (ցանկացած 0°, 90°, 180° կամ 270° ոչ հաւասար անկիւններ)։
• Փռուած անկիւն (180°), փռուած անկիւնին կողմերը կը հանդիսանան մէկ ուղիի երկու կիսաուղիղներ, այսինքն կայ երկու ճառագայթներ՝ ուղղուած հակառակ ուղղութիւններով։
• Ուռուցիկ անկիւն (0°-էն մինչեւ 180° ներառեալ)։
• Ոչ ուռուցիկ անկիւն (180°-էն մինչեւ 360°, չի ներառեր սահմանային արժէքները)։
• Ամբողջ անկիւն (360°) — տես Պտոյտ (չափման միաւոր).

Անկիւնի կիսորդ (լատ.՝ bi- «երկակի» եւ Կաղապար:Lang-la2 «կտրում» բառերէն) կը կոչուի անկեան գագաթէն դուրս եկող եւ իր ներքին տիրոյթով անցնող ճառագայթը, որ իր կողմերու հետ կը ձեւաւորէ երկու հաւասար անկիւններ։ Կիսորդին ցանկացած կէտին հեռաւորութիւնը անկիւնի կողմերէն միեւնոյնն է (եւ հակառակը, անկիւնի ներքին տիրոյթին ցանկացած կէտը, որ հաւասար հեռու է անկիւնի կողմերէն, կ'իյնայ կիսորդին վրայ)։

Հարթ անկիւն կէտը կ'օգտագործուի որպէս անկիւն(սահմանուած է հոդուածի սկիզբը) կէտերու հոմանիշ, հարթ անկիւն օգտագործուելիք կէտերէն տարբերելու համար։ Հարթ անկիւններուն յատկութիւններու տակ ոչ յաճախ կը հասկնան անկիւններու մեծութիւններու յարաբերութիւնները (կից, լրացնող, հակառակ, հակադիր -տես ներքեւը) այն դէպքին, երբ անկիւնները կ'իյնան մէկ հարթութեան մէջ (հարթաչափութեան համար այդ ինքնին կ'ենթադրուի, սակայն տարածաչափութեան համար ճշդգրիտ ըլլալ անհրաժեշտ է, այլապէս սկիզի թուարկուած յարաբերութիւնները տեղի չեն ունենար, իսկ իրենք՝ անկիւնները, եթէ չեն պատկանիր միեւնոյն հարթութեան, չեն կոչուիր կից կամ հակառակ (հակադիրները ինքնաբերաբար կ'իյնան մէկ հարթութեան մէջ))։

Հակադիր եւ Կից Անկիւններ

•  
  Հակադիր անկիւններ: Երկու զոյգ՝ (A и B, C и D) անկիւնները զոյգ առ զոյգ հաւասար են
•  
  Կից անկիւններ: Անկիւններուն արտաքին (ոչ ընդհանուր) կողմերով կազմուած անկիւնին մեծութիւնը հաւասար է իրենց (α + β) գումարին
•  
  a եւ b Լրացնող անկիւնները (փոխադարձ կը լրացնեն մէկը միւսին միչեւ ուղիղ անկիւն): Երկու լրացնող անկիւններն ալ կը հանդիսանան սուր անկիւններու
•  
  Կից անկիւններ: Այս նկարին մէջ  (α) սուր եւ (β) «պութ» անկիւնները կը ձեւաւորեն  (α + β) փռուած անկիւնը
•  
  Փոխադարձաբար կապուած անկունները կը կազմեն «ամբողջ» (360°) անկիւն: Այս նկարին վրայ մասնաւոր դէպք է՝ 150° + 210° = 360°

• Հակադիր անկիւնները երկու անկիւններ են, որոնք կը ձեւաւորուին երկու ուղիղներու հատումէն, այդ անկիւնները չունին ընդհանուր կողմեր։ Այլ խօսքով, երկու անկիւններ կը կոչուին հակադիր, եթէ անկիւնի մը կողմերը կը հանդիսանան միւս անկիւնի կողմերուն շարունակութիւնները։ Իրենց հիմնական յատկութիւնը այն է, որ հակադիր անկիւնները հաւասար են։
• Կից անկիւնները երկու անկիւններ են, որոնք ունին ընդհանուր կողմն ու գագաթը, բայց հարթութեան վրայ ինկած երկու անհաւասար ներքին տիրոյթներու։ Կից անկիւններուն արտաքին (ոչ ընդհանուր) կողմերով կազմուած անկիւնի մեծութիւնը հաւասար է կից անկիւններու գումարին (նկարին մէջ α + β)։

Մասնաւոր կից անկիւններու դէպքերը։

• Եթէ կից անկիւնները հաւասար են, ապա անոնց ընդհանուր կողմը «կիսորդ»ն է։

• Լրացնող անկիւնները  ընդհանուր գագաթով երկու անկիւններն են, որոնց կողմերէն մէկը ընդհանուրն է, իսկ միւս երկու կողմերը կը կազմեն ուղիղ անկիւններ։ Լրացնող անկիւններու գումարը հաւասար է 90°։ Անկիւնի «սինուս»ը, «թանկէնզ»ը եւ «սեքանզ»ը համապատասխանաբար հաւասար են լրացնող անկիւնի «կոսինուս»ին, «քոդանկէզ»ին եւ «քոսեքանզ»ին։

• Կից անկիւնները  ընդհանուր գագաթով երկու անկիւններն են, որոնց մէկ կողմը ընդհանուրն է, իսկ միւս կողմերը ինկած են ուղղիի մը վրայ (չեն համընկնիր)։ Կից անկիւններու գումարը հաւասար է 180°։

• Փոխադարձաբար կապուած անկիւնները երկու անկիւններն են, որոնք ունին ընդհանուր գագաթն ու երկու կողմերը, բայց տարբերող ընդհանուր տիրոյթներ. այսպիսի անկիւններու միաւորումը կը ներկայացնէ ամբողջ հարթութիւն մը, իսկ որպէս կից անկիւններ անոնք իրար հետ կը կազմեն ամբողջ անկիւն, անոնց գումարը 360° է։

(Հակա)զուգահեռ Կողմերով Հարթ Անկիւններ

 

Անկիւնները, որոնց կողմերը զոյգ առ զոյգ զուգահեռ են եւ համուղուած (կամ զոյգ առ զոյգ զուգահեռ են եւ համուղուած են), միայն կ'ըլլան հաւասար: Անկիւններուն զոյգը, որոնց կողմերը կ'ըլլան զոյգ մը զուգահեռ եւ հակուղուած, իսկ կողմերուն երկրորդ զոյգը զուգահեռ են եւ հակուղուած, գումարով կը կազմեն փռուած անկիւն, որ 180° է (տես նկարը), որովհետեւ զուգահեռ տեղափոխմամբ իրենց կրնանք վերածել կից անկիւններու (համուղուած կողմերը «սոսնձելով»)։

Փոխադարձ Ուղղահայեաց Կողմերով Անկիւններ

• Փոխադարձ ուղղահայաց կողմերով երկու անկիւնները հաւասար են, եթէ անոնք երկուքն ալ սուր են կամ «պութ»։

Եռանկեան Արտաքին Անկիւն

• Կանոնը եռանկեան արտաքին անկիւնին մասին։ Եռանկեան արտաքին անկիւնը հաւասար է եռանկեան արտաքին անկիւնին ոչ կից միւս երկու անկիւններու գումարին։

Բազմանկեան Անկիւններ

Կամայական n-անկիւնի բազմանկեան առանց ինքնահատման α_i ներքին անկիւններուն գումարը հաւասար է ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }:}$ 

Այսպիսով,

• եռանկեան ներքին անկիւններու գումարը հաւասար կ'ըլլայ 180°-ի,
• քառանկեանը՝ 360°,
• հնգանկեանը՝ 540° եւ այլն։

Հետեւութիւն

Ներքին անկիւն կ'անուանենք β_i (ուշադրութիւն, այս արտաքին անկիւնի ոչ սովորական սահմանումն է) այն անկիւնը, որ ներքին α_i անկիւնը կը հասնի մինչեւ ամբողջ անկիւնի. β_i = 360° − α_i։

Կամայական n-անկիւն բազմանկեան առանց ինքնահատման արտաքին անկիւններու գումարը հաւասար է ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}=n\cdot 360^{\circ }-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n+2)\cdot 180^{\circ }:}$ 

Շրջանագիծի ցանկացած աղեղը կարելի է համադրել միայն կեդրոնական եւ անսահման բազմութեամբ ներքին գիծով անկիւնները։

•  
  Կեդրոնական անկիւն
•  
  Ներքին գիծով անկիւն

• Կեդրոնական անկիւնը շրջանագիծի կեդրոոնով անկիւնն է։ Կեդրոնական անկիւնին մեծութիւնը հաւասար է այդ անկիւնին կողմերուն մէջ պարփակուած աղեղի աստիճանային չափին։
• Ներքին գիծով անկիւնը այն անկիւնն է, որուն գագաթը կ'իյնայ շրջանագիծին վրայ, իսկ կողմերը կը համատեղուին ըստ այդ շրջանագիծին։ Ներքին գիծով անկիւնի մեծութիւնը հաւասար է իր կողմերով սահմանափակուած աղեղի աստիճանանային չափին կէսին։ Միեւնոյն աղեղին վրայ հենած բոլոր ներքին գիծով անկիւնները հաւասար են։

 

Ներքին գիծով անկիւնին մեծութիւնը հաւասար է շրջանագիծին նոյն աղեղին վրայ հենած կեդրոնական անկիւնի կէսին(տե՛ս նկարը)։

${\displaystyle AB}$  եւ ${\displaystyle CD}$  ուղղիներուն միջեւ (նշանակենք՝ ${\displaystyle \angle (AB,CD)}$ ) կողմնորոշուած անկիւնին մեծութիւնը կ'անուանենք այնպէս, որուն վրայ պէտք է «պտտիլ» ժամացոյցի հակառակ ուղղութեամբ՝ ${\displaystyle AB}$  ուղղիին նման, որ ան կը դառնայ զուգահեռ ${\displaystyle CD}$  ուղղիին։ Անոր հետ միատեղ, n-180°-ի եւ n-360°-ի վրայ տարբերող անկիւնները կը համարուին հաւասար։ Հարկաւոր է նշել,որ ${\displaystyle CD}$  եւ ${\displaystyle AB}$  ուղղիներուն միջեւ կողմնորոշուած անկիւնը հաւասար չէ ${\displaystyle AB}$  եւ ${\displaystyle CD}$  ուղղիներուն միջեւ կողմնորոշուած անկիւնին (անոնց գումարը կը կազմէ 180°, որ ըստ մեր պայմանաւորուածութեան նոյնն է 0°-ի)։ Կողմնորոշուած անկիւնները օժտուած են հետեւեալ յատկութիւններով. ա) ${\displaystyle \angle (AB,BC)=-\angle (BC,AB),}$ 

բ) ${\displaystyle \angle (AB,CD)+\angle (CD,EF)=\angle (AB,EF),}$ 

գ)${\displaystyle A,B,C,D,}$  ուղղի մը վար չինկած, միեւնոյն շրջանագիծին պատկանող կէտեր են միայն այն դէպքին, երբ ${\displaystyle \angle (AB,BC)=\angle (AD,DC):}$ 

Բնական խնդիրներու շարքը կը ներկայացնէ անկիւններու նպատակահարմար դիտարկումը որպէս պատկեր, որ կը ստացուի О կէտի (որմէ դուրս կըւ գայ ճառագայթը) շուրջը մինչեւ տրուած հաստատուած դիրք՝ ճառագայթի «պտտում»-էն։ Այդ դէպքին անկիւնը կը հանդիսանայ ճառագայթին «պտոյտ»-ին չափը։ Նման սահմանումը կը հնարաւորէ ընդհանրացնել անկիւնի հասկացողութիւնը, ընդլայնելով իր սահմանումը ամբողջ ${\displaystyle (-\infty ;+\infty )}$  թուային ուղղիին վրայ, ներբեռնելով 360° մեծ անկիւնները։ Կախուած «պտոյտ»ի ուղղութենէն կը տարբերին դրական եւ բացասական անկիւններ-ը։ Եռանկիւնաչափութեան մէջ նման դիտարկում կը ստանայ եռանկիւնաչափական «Ֆունկ»երը ուսումնասիրելով «angument»-ի ցանկացած արժէքի դէպքին մէջ։

Անկիւնի հասկացողութիւնը կ'ընդհանրացուի տարածաչափութեան մէջ մարմնային անկիւնը դիտարկելով։

Մարմնային Անկիւն

Հարթ անկիւնի ընդհանրացումը տարածաչափութեան մէջ կը հանդիսանայ մարմնային անկիւն մը, որ կը ներկայացնէ կէտէն դուրս եկող (անկիւնի գագաթներ) եւ մակերեւոյթ (որ կը կոչուի տուեալ հարթ անկիւնը ձգող մակերեւոյթ) հասցնող բոլոր ճառագայթներուն միաւորումը։

Մարմնային անկիւնները կը չափուին «steradian»-ով (ՄՀ-ի մէջ հիմնական միաւորներէն մէկը), ինչպէս նաեւ ոչ համակարգային միաւորներով՝ ամբողջական գունդի մասերով (այսինքն 4π «steradian» կազմող ամբողջական հարթին նկատմամբ)։

Մարմնային անկիւնները մասնաւորապէս կը հանդիսանան հետեւեալ երկրաչափական մարմիններուն.

• Երկնիստ անկիւն՝ երկու հարթութիւններով սահմանափակուած տարածութեան չափ,
• Եռանիստ անկիւն՝ երեք հարթութիւններով սահմանափակուած տարածութեան չափ,
• Բազմաթիւ անկիւն՝ կէտի մը բազմաթիւ հարթութիւններով սահմանափակուած տարածութեան մաս։

Երկնիստ անկիւնը կրնայ բնութագրուիլ ինչպէս գիծի անկիւն (իրեն ձեւաւորող հարթութիւններու միջեւ անկիւն), այնպէս ալ մարմնային անկիւնը (որպէս գագաթ կրնայ ընտրել իր կողին՝ իր նիստերուն հատման ուղղիին վրայ գտնուող ցանկացած կէտ մը)։ Եթէ երկնիստ անկիւնը («ռատիան»ով) հաւասար է φ-ի, ապա իր մարմնական անկիւնը («steradian»-ով) հաւասար է 2 φ-ի։

Կորերու Միջեւ Անկիւնը

 

Ինչպէս հարթաչափութիւնը, այնպէս ալ տարածաչափութեան մէջ, ինչպէս նաեւ ուրիշ երկրաչափութիւններու շարքին մէջ կարելի է սահմանել հարթ կորերու միջեւ անկիւնին կէտը. ըստ սահմանման, իր մեծութիւնը հաւասար է կորերու միջեւ կէտին շոշոփողներու կազմած անկիւնին մեծութեան։

Անկիւններուն չափման համար տարբեր կանոններն ու գործիքները կը բնութագրուին անկիւնային ազատութեամբ, այսինքն ամենափոքր անկիւնով, որ կրնայ չափուիլ տուեալ կանոնի օգնութեամբ։ Ամենալաւ անկիւնային ազատութեամբ օժտուած են տարբեր մեթր չափանիշի կանոններով, որոնք կը հնարաւորեն որոշ դէպքերուն չափել անկիւններ աղեղին քանի մը կարճ երկվարակեաններով (~10⁻¹¹ «ռատիան»)։

Անկիւնի հասկացողութիւնը կարելի է սահմանել կամայական բնոյթի գծային տարածութիւններու համար(այդ ժամանակ նաեւ կամայական անսահման չափողականութեամբ), որոնց վրայ «աքսաթիք»օրէն ներմուծուած է տարածութեան ${\displaystyle x}$  եւ ${\displaystyle y}$  երկու հատկանշումներուն դրական սահմանուած ${\displaystyle (x,y)}$  կարեւորագոյն արտադրեալը։ «Scalear» արտադրեալը կրնայ սահմանել նաեւ այսպէս կոչուած տարրի նորմը (երկարութիւնը), ինչպէս նաեւ տարրը կը պարունակէ արտադրեալէն քառակուսի արմատ մը՝ ${\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}:}$  «Scalear» արտադրեալին կը հետեւի Կոշի-Պունիաքովսքիին անհաւասարութիւնը (Կոշի-Զիւիցերիացի) «scalear» արտադրեալին համար՝ ${\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,}$  ուրկէ կը հետեւի, որ ${\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}}$  մեծութիւնը ընդունի -1-էն մինչեւ 1 արժէքները, ըստ որուն սահմանային արժէքները կ'ընդունին զայն եւ միայն այն դէպքին է, երբ տարրերը «colinear» համեմատական են իրարու (երկրաչափօրէն ըսած՝ անոնց ուղղութիւնները կը համընկնին կամ հակուղուած են)։ Այս կրնայ ${\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}}$  յարաբերութիւնը բացատրել ինչպէս ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$  տարրերուն միջեւ անկիւնի «քոսինուս»-ը։ Մասնաւորապէս, տարրերը կը կոչուին «ortogonal», եթէ արտադրեալը (կամ անկիւնին «քոսինուս»ը) հաւասար է զերոյի։

Մասնաւորապէս, կարելի է ներմուծել որոշակի ${\displaystyle [a,b]}$  կէտին վրայ անընդհատ «ֆունկեր»ու միջեւ անկիւնին գաղափարը, եթէ ներմուծենք ${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}$  «scalear» արտադրեալը, այս դէպքին «ֆունկ»երուն նորմերը կը որոշուին ինչպէս ${\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx:}$  Հոս անկիւնին «քոսինուս»ը կը որոշուի բնական ձեւով՝ որպէս «ֆունկ»երուն «scalear» արտադրեալի յարաբերութիւնը իրենց նորմերուն հետ միատեղուած։ «Ֆունկ»երը կարելի է անուանել նաեւ «ortogonal», եթէ անոնց «scalear» արտադրեալը (իրենց արտադրեալին կեդրոնը) հաւասար է զերոյի։

Ռոմանեան երկրաչափութեան մէջ կարելի է աղիւսակի ձեւով ${\displaystyle g_{ij}}$  մեթր չափանիշին օգնութեամբ սահմանել շոշոփող «vector»-ի միջեւ անկիւնը։ ${\displaystyle u}$  եւ ${\displaystyle v}$  շոշափող «vectorn»-ներուն «scalear» արտադրեալը Թենզորի գրառմամբ ունի հետեւեալ տեսքը՝ ${\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},}$  համապատասխանաբար «vector»-ներուն նորմերը՝ ${\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}}$  եւ ${\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}:}$  Այս պատճառով անկիւնին «քոսինուս»ը կը որոշուի նշուած «scalear» արտադրեալի յարաբերութեամբ «vector»-ներու նորմերուն բնական բանաձեւով՝ ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}:}$ 

Գոյութիւն ունի նաեւ աշխատանքներու շարք մը, որոնց մէջ կը ներմուծուի մեթրի տարածութեան տարրերուն միջեւ անկիւնի գաղափարը։

Թող ${\displaystyle (X,\rho )}$  ըլլայ մեթրի տարածութիւն-ը, իսկ ${\displaystyle x,y,z}$ ՝ այդ տարածութեան տարրերը։

Կ.Մենկերը ներմուծած է ${\displaystyle y}$  եւ ${\displaystyle z}$  գագաթներու միջեւ ${\displaystyle x}$  կէտին գագաթով անկիւնը հասկացողութիւնը որպէս ոչ բացասական ${\displaystyle {\widehat {yxz}}}$  թիւ, որ կը բաւարարուի երեք կեդրոններրու.

• ${\displaystyle {\widehat {yxz}}={\widehat {zxy}}}$ 
• ${\displaystyle {\widehat {yxz}}=0}$  այն եւ միայն այն դէպքին, երբ ${\displaystyle \rho (y,z)=|\rho (x,y)-\rho (x,z)|}$ 
• ${\displaystyle {\widehat {yxz}}=\pi }$  այն եւ միայն այն դէպքին, երբ ${\displaystyle \rho (y,z)=\rho (x,y)+\rho (x,z)}$ 

1932 թուականին Վիլսոնը որպէս անկիւն դիտարկեց

${\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}$ 

Դժուար չէ տեսնել, որ ներմուծուած արտայայտութիւնը միշտ իմաստ ունի եւ կը բաւարարուի Մենկերու երեք կեդրոններուն։

Բացի ատկէ, Ուիլսընի անկիւնը օժտուած է այն յատկութեամբ, որ էվքլիտեանի տարածութեան մէջ էվքլիտեան տարածութեան իմաստով ան «equivalent» է ${\displaystyle y-x}$ -ի եւ ${\displaystyle z-x}$ -ի միջեւ անկիւնին։

Դիւրին Եռանկիւնաչափական Չափումներու Օրինակներ

Խնդիրներու լուծում պարզ կանոնով Ինչպէ՞ս չափել անկիւնը, (օրինակ, քարտէսի վրայ) եռանկիւններու կողմերու օգնութեամբ (օրինակ եռանկիւնաչափական հաշիւի բացակայութեան ժամանակ (եւ աղիւսակներու) եւ համակարգիչի բացակայութեամբ (Microsoft Excel) cos չափման համար) եւ ձեռքի տակ գտնուող միջոցներով՝ միլիմեթրի բաժանումին կանոնով։ Անկիւնի կողմերուն վրայ առանձնացուցէք 60 միլիմեթր հատուածներ եւ ծայրակէտերը միացուցէք ուղիղ գիծով։ Այդ գիծին երկարութիւնը միլիմեթրերով ցոյց կու տայ անկիւնի մօտաւոր մեծութիւնը աստիճաններով։ Այդ եղանակով կարելի է բաւական ճշդութեամբ չափել մինչեւ 60° սուր անկիւնները։ Եթէ անկիւնը մեծ է 60°-է, կը չափեն իր լրացումը մինչեւ 90°, 180, 270° կամ 360°։ Մինչեւ 90° կամ 270° իր լրացումը չափելու համար անկիւնի գագաթէն եռանկեան միջոցով կը կառուցուի ուղղահայեաց իր կողմերէն մէկուն (հաւասարակողմ եռանկեան մէջ՝ միջնագիծը կիսորդ եւ բարձրութիւն է)։

Ինչպէ՞ս չափել անկիւնը կանոնով

Միլիմեթրի բաժանումներով կանոնը տեղաւորեցէք ձեր առջեւը՝ աչքերէն 57 սմ. հեռաւորութեան վրայ (60 սմ-էն ոչ աւելի)։ Այդ դէպքին 1 սմ.-ի հաւասար բաժանումը կը համապատասխանէ 1° անկիւնի սեւեռացումը։ Այդ կանոնի ճշգրտութեան մէջ դուք դիւրութեամբ կը համոզուիք, եթէ կը յիշէք կեդրոնական անկիւնի աղեղը 1°-ի մէջ կը կազմէ մօտաւորապէս շառաւիղին 1/57-րդ մասը։ Անկիւններուն չափման ճշդութիւնը կանոնի օգնութեամբ (ինչպէս նաեւ մատերու օգնութեամբ, տե՛ս ներքեւը) կախուած է աչքերէն անհրաժեշտ հեռաւորութեան վրայ կանոնի (կամ մատներու) դիրքին ճիշդ ընտրութենէն։ Անկէ կարելի է դիւրութեամբ վարժուիլ «թել»ի օգնութեամբ, որուն երկարութիւնը կը համապատասխանէ աչքերէն մինչեւ բացուած ձեռքի մատներուն մասը։

Անկիւնները կարելի է հաշուել նաեւ տարբեր հաշուողական սարքերու եւ համակարգերու օգնութեամբ՝ եռանկիւնաչափութեան միջոցով հաշիւի կանոնին հիման վրայ, մեքանիզմի հաշիւով(այս ժամանակ (Windows) հաշուիչ), Microsoft Excel աղիւսակի «ֆունկ»երու օգնութեամբ (1) cos, (2) այնուհետեւ «arccos», եւ (3) «ֆունկ»երով փոխարինել նաեւ «ռատիան»ները աստիճաններու (°) (ԱՀ-ի դէպքին, գոյութիւն ունի տրուած կողմերով եռանկիւններու անկիւններուն on-line հաշիւին մէջ)։ Գոյութիւն ունի յատուկ եռանկիւնաչափական աղիւսակներ՝ sin, cos, ինչպէս նաեւ «arccos», «arcsin», ըստ որուն վերջինները կրնան ըլլալ (այս պարագային եւ յաճախ եռանկիւնաչափական ժամանակ) աստիճաններու վերահաշուարկով։

• Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1992. — 383 с. — ISBN 9785090038546
• Weisstein, Eric W., "Line Bisector", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Angle", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Polygon", MathWorld.
• K. Menger New Fondations of Euclidean Geometry(անգլերէն) // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : журнал. — 1931. — С. 721‒745.
• W. A. Wilson On angles in certain metric spaces(անգլերէն) // Bulletin of American Mathematical Society 39. — 1932. — С. 580‒588.