Եռանկյան Բարձրություն

 

Եռանկյան բարձրությունները հատվում են մեկ կետում, որը կոչվում է օրթոկենտրոն։ Այս պնդումը հեշտ է ապացուցել, կիրառելով ցանկացած ${\displaystyle A,\ B,\ C,\ E}$  կետերի (որոնց պատկանելիությունը միևնույն հարթությանը պարտադիր չէ) համար վեկտորական նույնությունը.

${\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}$ 

(Նույնության ապացուցման համար պետք է օգտվել

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}$ 

բանաձևերից։ Որպես E կետ պետք է վերցնել եռանկյան երկու բարձրությունների հատման կետը։)

Հավասարասրուն եռանկյան բարձրությունների հատկությունները

• Եթե եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (Շտեյներ-Լեմուսի թեորեմ), իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է այն անկյան կիսորդն ու միջնագիծը, որից այն դուրս է գալիս։
• Ճշմարիտ է և հակադարձը. հավասարասրուն եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է միջնագիծ և կիսորդ։
• Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք բարձրությունները հավասար են։
• Հավասարասրուն եռանկյան՝ հիմքին հանդիպակաց անկյան գագաթից դուրս եկող բարձրությունը միջնագիծ է և կիսորդ։

• Եռանկյան բարձրությունների հիմքերը կազմում են, այսպես կոչված, օրթոեռանկյուն, որն օժտված է սեփական հատկություններով։
• Օրթոեռանկյանն արտագծված շրջանագիծը Էյլերի շրջանագիծն է։ Այդ շրջանագծի վրա գտնվում են եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերը և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը։
• Վերջին հատկության այլ ձևակերպում.
  • Էյլերի թեորեմը ինը կետերի շրջանագծի համար.

Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը (միջնագծերիհիմքերը ) և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (ինը կետերի շրջանագծի վրա)։

• Թեորեմ։ Ցանկացած եռանկյան մեջ երկու բարձրությունների հիմքերը միացնող հատվածը առանձնացնում է տրվածին նման եռանկյուն

• Ոչ հավասարասրուն եռանկյան ներքին կիսորդը գտնվում է այն միջնագծի և բարձրության միջև, որոնք տարված են նույն գագաթից, ինչ այդ կիսորդը։
• Սուրանկյուն եռանկյան մեջ երկու բարձրություները նրանից առանձնացնում են նման եռանկյուններ։
• Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունն այդ եռանկյունը տրոհում են տրվածին նման երկու եռանկյունների։

Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնն օժտված է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով։Օրինակ.

• Եռանկյան հարթությանը պատկանող ուղիղների վրա եռանկյան օրթոգոնալ պրոյեկցիաներից փոքրագույնի երկարությունը հավասար է եռանկյան փոքրագույն բարձրությանը։
• Եռանկյան պարագծով երկու կետերի՝ միմյանց ընդառաջ անընդհատ շարժվելիս, նրանց մեծագույն հեռավորությունը առաջին հանդիպումից մինչև երկրորդը, չի կարող փոքր լինել եռանկյան փոքրագույն բարձրության երկարությունից։
• Եռանկյան փոքրագույն բարձրությունը միշտ անցնում է եռանկյան ներքին տիրույթով։

• ${\displaystyle h_{a}=b{\cdot }\sin \gamma =c{\cdot }\sin \beta ,}$ ։
• ${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\cdot }S}{a}},}$  որտեղ ${\displaystyle S}$  — եռանկյան մակերեսն է, ${\displaystyle a}$  — եռանկյան այն կողմի երկարությունն է, որին տարված է բարձրությունը։
• ${\displaystyle h_{a}={\frac {b{\cdot }c}{2{\cdot }R}},}$  որտեղ ${\displaystyle b{\cdot }c}$  - կողմնային կողերի արտադրյալն է, ${\displaystyle R-}$ -ը՝ արտագծված շրջանագծի շառավիղը։
• ${\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=(b{\cdot }c):(a{\cdot }c):(a{\cdot }b).}$ 
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}}$ , որտեղ ${\displaystyle r}$  — ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է։
• ${\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}$ , որտեղ ${\displaystyle S}$  - ը եռանկյան մակերեսն է։
• ${\displaystyle a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}}$ , ${\displaystyle a}$  - եռանկյան կողմը, որին տարված է ${\displaystyle h_{a}}$  բարձրությունը։
• Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը.

${\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\cdot }{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},}$ 

որտեղ ${\displaystyle c}$  — ն հիմքն է։

• ${\displaystyle h=a{\cdot }{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$  — հավասարակողմ եռանկյան բարձրություն։

Եթե ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված ${\displaystyle h}$  բարձրությունը ${\displaystyle c}$  ներքնաձիգը տրոհում է ${\displaystyle b}$  և ${\displaystyle a}$  էջերին համապատասխան ${\displaystyle m}$  և ${\displaystyle n}$  հատվածների, ապա ճշմարիտ են հետևյալ հավասարությունները.

• ${\displaystyle h^{2}=n{\cdot }m}$ 
• ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }n}$ ; ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }m}$ 
• ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$ 

Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին։ ${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma }$ . Պրոյեկցիաների մասին թեորեմից հետևում է, որ, օրինակ, ${\displaystyle C}$  գագաթից տարված բարձրությունը հանդիպակաց ${\displaystyle c}$  կողմը տրոհում է երկու մասի՝ ${\displaystyle a\cos \beta }$  և ${\displaystyle b\cos \alpha }$ , հաշված ${\displaystyle A}$  գագաթից դեպի ${\displaystyle B}$ -ն։

• Եռանկյուն
• Ուղղանկյուն եռանկյուն
• Հավասարասրուն եռանկյուն
• Եռանկյան միջնագիծ
• Օրթոկենտրոն
• Կիսորդ