Ֆրիդմանի Հավասարումներ

Ֆրիդմանի հավասարումները սկիզբ են առնում այն պարզ դատողությունից, որ տիեզերքը տարածականորեն համասեռ է և իզոտրոպ, այսինքն՝ կոսմոլոգիական սկզբունքից։ Սա փորձնականորեն արդարացված է ~100 Մպս հեռավորությունների համար։ Ըստ կոսմոլոգիական սկզբունքի, տիեզերքի չափականությունը պետք է

${\displaystyle ds^{2}=a(t)^{2}\,ds_{3}^{2}-c^{2}\,dt^{2}}$ 

տեսքի լինի, որտեղ ${\displaystyle \!ds_{3}^{2}}$ -ն եռաչափ տարածության չափականությունն է, որը պետք է լինի կամ հարթ տարածություն, կամ հաստատուն դրական կորությամբ ոլորտ, կամ հաստատուն բացասական կորությամբ հիպերբոլական տարածություն։ ${\displaystyle \!k}$  պարամետրը այս երեք դեպքերում համապատասխանաբար ընդունում է 0, 1, −1 արժեքներ։ Այս փաստի շնորհիվ է, որ կարող ենք խոսել ${\displaystyle \!a(t)}$  «սանդղակի գործոնի» մասին։

Այնշտայնի հավասարումները կապում են այս սանդղակի գործոնի փոփոխությունը տիեզերքում նյութի ճնշման և էներգիայի հետ։ Ֆրիդման-Լեմետր-Ռոբերտսոն-Վոլկերի չափականությունից հաշվում ենք Քրիստոֆելի սիմվոլները, ապա՝ Ռիչչիի թենզորը։ Ունենալով կատարյալ հեղուկի էներգիա-իմպուլսի թենզորը, կարող ենք տեղադրել Այնշտայնի դաշտի հավասարումներում և ստանալ նկարագրված արդյունքը։

Ֆրիդմանի հավասարումների երկու անկախ համակարգ կա, որոնցով նկարագրվում է հոմոգեն և իզոտրոպ տիեզերքը։ Առաջինը՝

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}}$ 

որը արտածվում է դաշտի հավասարումների 00 բաղադրիչից։ Երկրորդը՝

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$ ,

որը արտածվում է առաջինից դաշտի հավասարումների մատրիցի հետքի հետ։ ${\displaystyle a}$ -ն սանդղակի գործոնն է, ${\displaystyle H\equiv {\frac {\dot {a}}{a}}}$ -ը՝ Հաբլի պարամետրը։ G -ն, Λ-ը, c -ն տիեզերական հաստատուններ են (G -ն Նյուտոնի գրավիտացիոն հաստատունն է, Λ -ը՝ կոսմոլոգիական հաստատունը, իսկ c -ն՝ լույսի արագությունը վակուումում)։ k -ն մասնավոր լուծման հաստատուն է, կարող է փոփոխվել կախված լուծումից։ a -ն, H -ը, ρ -ն և p -ն ֆունկցիաներ են ժամանակից։ ρ -ն և p -ն համապատասխանաբար խտություննն են և ճնշումը։ ${\displaystyle k \over a^{2}}$ -ն տարածական կորությունն է, այն հավասար է տարածական Ռիչչիի կորության R սկալյարին, քանի որ ${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})}$  Ֆրիդմանի մոդելում։ Տեսնում ենք, որ Ֆրիդմանի հավասարումներում a(t)-ն կախված է միայն ρ -ից, p -ից, Λ -ից և k սեփական կորությունից։ Այն կախված չէ ընտրված կոորդինատական համակարգից։ a -ի և k -ի ընտրության երկու տարբերակ կա, որոնց միևնույն ֆիզիկան են նկարագրում․

• k = +1, 0 կամ −1՝ կախված թե կոսմոլոգիական մոդելը համապատասխանաբար եռաչափ փակ ոլորտ է, հարթ (այսինքն՝ էվկլիդեսյան տարածություն) կամ բաց եռաչափ հիպորբոլոիդ։ Եթե k = +1, ապա ${\displaystyle a}$ -ը տիեզերքի կորության շառավիղն է։ Եթե If k = 0, ապա ${\displaystyle a}$ -ն կարելի որոշակի ժամանակի համար ֆիքսել կամայական դրական թվով։ Եթե k = −1, ապա կարող ենք ասել, որ ${\displaystyle i}$ ·${\displaystyle a}$ -ն տիեզերքի կորության շառավիղն է։
• a-ն սանդղակի գործոնն է, որը 1 է ընտրված ներկա ժամանակի համար։ ${\displaystyle k}$ -ն տարածական կորությունն է, երբ ${\displaystyle a=1}$  (այսինքն՝ այսօր)։ Եթե կոսմոլոգիական մոդելը հիպերսֆերիկ է և ${\displaystyle R_{t}}$ -ն կորության շառավիղն է (${\displaystyle R_{0}}$ -ը ներկա պահին), ապա ${\displaystyle a=R_{t}/R_{0}}$ ։ Եթե ${\displaystyle k}$ -ն դրական է, ապա տիեզերքը հիպերսֆերիկ է։ Եթե ${\displaystyle k}$ -ն բացասական է, ապա տիեզերքը հարթ է։ Եթե ${\displaystyle k}$ -ն բացասական է, ապա տիեզերքը հիպերբոլական է։

Կիրառելով առաջին հավասարումը, երկրորդը կարող ենք վերաձևակերպել որպես

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$ 

which բացառում է ${\displaystyle \Lambda \!}$ -ն և արտահայտում է զանգվածի և էներգիայի պահպանումը՝ ${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}$ ։

Այս հավասարումները հաճախ պարզեցվում են՝ տեղադրելով

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$ 

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}}$ ,

ինչից հետո կստանանք

${\displaystyle H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)}$ ։

Երկրորդ հավասարման պարզեցված ձևն ինվարիանտ է այս ձևափոխության նկատմամբ։

Հաբլի պարամետրը կարող է ժամանակի ընթացքում փոխվել, եթե հավասարման մյուս մասերը կախված են ժամանակից (մասնավորապես՝ զանգվածի խտությունը, վակուումի էներգիան կամ տարածական կորությունը)։ Հաբլի պարամետրի ներկա գնահատականները տալիս են Հաբլի հաստատունը, որը Հաբլի օրենքի համեմատականության գործակիցն է։ Հեղուկի նկատմամբ կիրառելով տրված վիճակի հավասարումը Ֆրիդմանի հավասարումների հետ, կստանանք տիեզերքի ժամանակային էվոլյուցիան և երկրաչափությունը որպես ֆունկցիա հեղուկի խտությունից։

Երբեմն Ֆրիդմանի երկրորդ հավասարումներից առաջինը կորչվում է Ֆրիդմանի արագացման հավասարում, իսկ երկրորդը՝ պարզապես Ֆրիդմանի հավասարում։

• Ֆրիդմանի տիեզերք