ფრიდმანის განტოლებები

ისინი პირველად ალექსანდრე ფრიდმანმა გამოიყვანა 1922 წელს აინშტაინის ველების განტოლებებიდან ფრიდმან-ლემეტრ-რობერტსონ-უოკერის მეტრულისთვის და ფლუიდიისათვის მოცემული ენერგიის სიმკვრივით ρ და წნევით ${\displaystyle p}$. განტოლებებია:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda }{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$
${\displaystyle 3\,{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)}$

სადაც ${\displaystyle \Lambda }$ არის კოსმოლოგიური მუდმივა შესაძლო გამოწვეული ვაკუუმური ენერგიით, ${\displaystyle G}$ არის გრავიტაციული მუდმივა, ${\displaystyle c}$ - სინათლის სიჩქარე , ${\displaystyle a}$ - მასშტაბური კოეფიციენტი, ხოლო ${\displaystyle K}$ - გაუსის მრუდე როდესაც ${\displaystyle a=1}$ (ე.ი. დღეს). თუ სამყაროს ფორმა ჰიპერსფეროა, და ${\displaystyle R}$ არის მრუდის რადიუსი (${\displaystyle R_{0}}$ აწმყო დროს), მაშინ ${\displaystyle a=R/R_{0}}$. ჩვეულებრივ, ${\displaystyle K \over a^{2}}$ არის გაუსის მრუდე. თუ ${\displaystyle K}$ დადებითია, მაშინ სამყარო ჰიპერსფეროა. თუ ${\displaystyle K}$ უდრის ნულს, მაშინ სამყარო ბრტყელია. ხოლო თუ ${\displaystyle K}$ უარყოფითია, სამყაროს ფორმა ჰიპერბოლაა. აღსანიშნავია, რომ ${\displaystyle \rho }$ და ${\displaystyle p}$ როგორც წესი არიან ${\displaystyle a}$-ს ფუნქციები. ჰაბლის კოეფიციენტი , ${\displaystyle H}$, სამყაროს გაფართოების კოეფიციენტია.

ზოგჯერ სიმარტივისთვის გამოსახავენ შემდეგნაირად:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

აქედან გამომდინარე:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3\,{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)}$

ჰაბლის კოეფიციენტი დროთა განმავლობაში შეიძლება შეიცვალოს იმის მიხედვით, თუ განტოლების სხვა შემადგენლები არიან დროზე დამოკიდებულები (კერძოდ ენერგიის სიმკვრივე, ვაკუუმური ენერგია, და სიმრუდე). ჰაბლის პარამეტრის გამოთვლას ახლანდელ დროში მივყავართ ჰაბლის მუდმივასკენ, რომელიც თავის მხრივ ჰაბლის კანონის პროპორციულობის გამომსახველია. ფლუიდის მოცემული მდომარეობის განტოლებით გამოსახვით, ფრიდმანის განტოლებები დროის ევოლუციასა და სამყაროს გეომეტრიას გამოხატავენ როგორც ფლუიდის სიმკვრივის ფუნქციას. ზოგიერთი კოსმოლოგი ამათგან მეორეს ეძახის აჩქარების განტოლებას და მხოლოდ პირველს უწოდებს ფრიდმანის განტოლებას.

სიმკვრივის კოეფიციენტი,${\displaystyle \Omega }$ , არის ფაქტობრივი (ანუ დაკვირვებადი) სიმკვრივის ${\displaystyle \rho }$ -ს კოეფიციენტი ფრიდმანის სამყაროს კრიტიკული სიმკვრივისადმი ${\displaystyle \rho _{c}}$ . კრიტიკული სიმკვრივის ფორმულა მიღებულია დაშვებით რომ Λ უდრის ნულს (ისე როგორც ყველა ძირითად ფრიდმანის სამყაროში) და ასევე მრუდე K-ც უდრის ნულს. ამ ცვლილებების განხორციელების შემდეგ ფრიდმანის პირველ განტოლებაში ჩვენ ვხედავთ:

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$ 

აქედან გამომდინარე გამოისახება სიმკვრივის კეფიციენტი (რომელიც ხელსაყრელია სხვადასხვა კოსმოლოგიური მოდელების შესადარებლად):

${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho }$ 

ტერმინი თავდაპირველად გამოიყენებოდა ველის გეომეტრიის გამოსახატავად, სადაც ${\displaystyle \rho _{c}}$  არის კრიტიკული სიმკვრივე, რომლისთვისაც გეომეტრია სიბრტყეა. ვაკუუმური ენერგიის სიმკვრივის ნულის ტოლად ჩათვლით, თუ ${\displaystyle \Omega }$  უფრო დიდია ვიდრე ერთობლიობა, მაშინ გეომეტრია დახურულია; სამყარო შედეგად შეწყვეტს გაფართოებას, და დაიმსხვრევა. თუ ${\displaystyle \Omega }$  ერთობლიობაზე ნაკლებია, მაშინ ის ღიაა და საყარო უსასრულოდ ფართოვდება. მაგრამ, შესაძლებელია სიმრუდე და ვაკუუმური ენერგია ${\displaystyle \Omega }$ -სთვის უფრო განზოგადებული ფორმით გამოისახოს და ამ შემთხვევაში ეს ენერგიის სიმკვრივე ზუსტად უდრის ერთობლიობას. მაშინ საქმე მიდგება სხვადასხვა კომპონენტის გაზომვასთან, რომლებიც როგორც წესი ინდექსებად (სუბსკრიბტებად) არიან გამოსახულნი. ლამბდა-ცივი შავი მატერიის მოდელის მიხედვით არსებობს ${\displaystyle \Omega }$ -ს მნიშვნელოვანი კომპონონენტები ბარიონების, ცივი შავი მატერიის და შავი ენერგიის სახით. WMAP ზონდის საშუალებით დადგინდა, რომ სივრცისა და დროის გეომეტრია თითქმის სიბრტყეა, რაც ნიშნავს რომ სიმრუდის კოეფიციენტი κ უდრის ნულს.

ფრიფმანის პირველი განტოლება ხშირად გვხვდება სიმკვრივის კოეფიციენტებით გამოსახული ფორმით:

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{\Lambda }-Kc^{2}a^{-2}}$ 

აქ ${\displaystyle \Omega _{R}}$  არის რადიაციის სიმკვრივე დღეს, ${\displaystyle \Omega _{M}}$  არის მატერიის (შავი და ასევე ბარიონული) სიმკვრივე დღეს, ხოლო ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$  არის კოსმოლოგიური მუდმივა ანუ ვაკუუმური სიმკვრივე დღეს.

დავუშვათ a=aa₀, ρ_c=3H₀²/8πG, ρ=ρ_cΩ, ${\displaystyle t={\tilde {t}}/H_{0}}$ ,Ω_c=-κ/H₀²a₀² სადაც a₀ და H₀ არიან ცალ-ცალკე მასშტაბური კეოფიციენტი და ჰაბლის კოეფიციენტი დღეს, მაშინ შეგვიძლია მივიღოთ:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}}$ 

სადაც U_eff(a)=Ωa²/2. ნებისმიერი ეფექტიანი პოტენციალისთვის U_eff(a), არის მდომარეობის განტოლება p=p(ρ) რომელიც აწარმოებს მას.