Równania Friedmana

Ten artykuł od 2017-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Określają one ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości (braku wyróżnionego miejsca i kierunku). Zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez rosyjskiego uczonego Aleksandra Friedmana w 1922 roku z równań pola Einsteina dla płynu o danym ciśnieniu ${\displaystyle p}$ i gęstości ${\displaystyle \rho }$ z metryką zwaną obecnie metryką Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera.

Istnieją dwa niezależne równania Friedmana. Pierwsze z nich określa zmiany pierwszej pochodnej czynnika skali ${\displaystyle a}$  w zależności od czasu kosmicznego ${\displaystyle t{:}}$ 

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}},}$ 

gdzie:

${\displaystyle H}$  to parametr Hubble’a,
${\displaystyle G}$  – newtonowska stała grawitacji,
${\displaystyle k}$  – krzywizna przestrzeni,
${\displaystyle c}$  – prędkość światła w próżni,
${\displaystyle \Lambda }$  – stała kosmologiczna.

Drugie z równań Friedmana, zwane również równaniem na przyspieszenie, zawiera drugą pochodną czynnika skali po czasie kosmicznym:

${\displaystyle {\dot {H}}+H^{2}\equiv {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}.}$ 

Parametr Hubble’a zmienia się w czasie, a jego obecna wartość, ${\displaystyle H_{0},}$  zwana jest stałą Hubble’a i pojawia się jako współczynnik proporcjonalności w prawie Hubble’a. Natomiast rosnący w czasie czynnik skali (na co wskazują obserwacje astronomiczne) oznacza ekspansję wszechświata.

Z równań Friedmana można wyeliminować ciśnienie, jeżeli zna się równanie stanu rozważanego płynu, czyli związek między jego gęstością a ciśnieniem. Natomiast wprowadzenie parametru gęstości ${\displaystyle \Omega =\rho /\rho _{c},}$  gdzie ${\displaystyle \rho _{c}}$  jest gęstością krytyczną, pozwala na przeformułowanie pierwszego równania Friedmana do ogólnej postaci:

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{r}a^{-4}+\Omega _{m}a^{-3}+\Omega _{k}a^{-2}+\Omega _{\Lambda }.}$ 

Wielkości ${\displaystyle \Omega _{r},}$  ${\displaystyle \Omega _{m}}$  i ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$  są odpowiednio parametrami gęstości promieniowania, materii i stałej kosmologicznej, zaś ${\displaystyle \Omega _{k}}$  jest „parametrem krzywizny”. Znajomość tych parametrów, a więc znajomość składu wszechświata, pozwala wnioskować o jego przeszłej i przyszłej ewolucji, oczywiście w przypadku, gdy spełnione jest założenie o jego jednorodności i izotropowości (lub też jest ono dobrym przybliżeniem).