Հանում

Հանումը կարելի է գրելի հետևյալ՝ ${\displaystyle {\overline {S}}(a,b)=c}$ ընդհանուր տեսքով , որտեղ ${\displaystyle a\in A}$ և ${\displaystyle b\in A}$։ Այսինքն ${\displaystyle (a,b)}$տարրերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է ${\displaystyle A}$բազմության ${\displaystyle c=a-b}$ տարրը, որը կոչվում է ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ թերի տարբերություն։

Հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ երկու արգումենտներն էլ պատկանում են միևնույն բազմությանը (ունեն նույն տիպը)։
Բացասակն թվերի առկայության դեպքում, տարբերությունը ավելի հարմար է դիտարկել որպես գումարման տեսակ՝ գումարում բացասական թվերով։ Օրինակ՝ ${\displaystyle 5-2=3}$կարելի է դիտարկել որպես ${\displaystyle 5+(-2)=3}$ գումարում։

Իրական թվերի բազմություն մեջ գումարման ֆունկցիայի որոշման տիրույթի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և առանցքների նկատմամբ ունի 45° թեքություն։

Հանումն ունի մի քանի կարևոր հատկություններ (օրինակ ${\displaystyle A=}$${\displaystyle \mathbb {R} }$-ի համար)՝

Հակատեղափոխականութուն՝ ${\displaystyle a-b=-(b-a),\quad \forall a,b\in \ A}$
Ոչ զուգորդականություն՝ ${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A}$
Բաշխականություն՝ ${\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A}$
Երբ թվից հանում ենք ${\displaystyle 0}$ արդյունքում ստանում ենք սկզբնական թիվը՝ ${\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}$ː

Որպես օրինակ դիտարկենք աջ կողմի նկարում պատկերված ${\displaystyle 5-2=3}$ գրությունը, նկարում հինգ խնձորից հանվում է երկու խնձոր, որի արդյունքում ստանում ենք երեք խնձոր։ Անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել, որ հինգ խնձորից երկու տանձ հանել չի կարելի։ Բացի խնձորների հաշվարկից, հանումը կարող է ներկայացնել նաև այլ ֆիզիկական և աբստրակտ մեծությունների տարբերություն, ինչպիսիք են օրինակ՝ բացասական թվերը, կոտորակային թվերը, վեկտորները, ֆունկցիաները և այլն։

 

Հանումը գրվում է արգումենտների միջև մինուս սիմվոլի «${\displaystyle -}$ » կիրառմամբ, գրության այս ձևը կոչվում է ինֆիկսային նշանագրություն։ Տվյալ կոնտեկստում մինուս նշանը համարվում է բինար գործողություն։ Արդյունքը գրվում է հավասարման նշանի «${\displaystyle =}$ » կիրառմամբ, օրինակ՝

${\displaystyle a-b=c}$  ,
${\displaystyle 6-3=3}$  («վեց հանած երեք հավասար է երեք») ,
${\displaystyle 64-35=29}$  («վաթսունչորս հանած երեսունհինգ հավասար է քասանինը») ։

Գրության մեջ օգտագործվող հանման նշանը շատ նման է այլ սիմվոլների, օրինակ՝ գծիկի, միացման գծիկի և այլն։ Սիմվոլի սխալ մեկնաբանությունից խուսափելու համար անհրաժեշտ է ուշադիր վերլուծել արտահայտությունը։

Թվային ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$  բազմություններում հանման գործողությունը ունի հետևյալ հիմնական հատությունները.

• Տարբերությունը տեղափոխական չէ, արգումենտների տեղերը փոխելիս տարբերությունը (հավասարությունը) փոխվում է

Հակատեղափոխականություն՝ ${\displaystyle a-b\neq b-a,\quad \forall a,b\in \ A}$ 

• Տարբերությունը զուգորդական չէ՝ երեք և ավելի թվերի հաջորդական հանման ժամանակ գործողության կատրման հաջորդականությունը կարևոր է, սրանից կախված արդյունքը փոխվում է

Հակազուգորդականություն՝ ${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A}$ 

• Հանումը բաշխական է, սա երկու բինար գործողությունների համաձայնություն է, որոշված տվյալ բազմության մեջ, հայտնի է նաև, որպես բաշխական օրենք

Բաշխականություն՝ ${\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A}$ 

• ${\displaystyle A}$ բազմության մեջ գոյություն ունի միակ չեզոք տարր, երբ թվից հանում ենք զրո (չեզոք տարր) ստանում ենք սկզբնականին հավասար թիվ՝

Զրոյական տարր՝ ${\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}$ 

• Զրո հանելու գործողությունը իդեմպոտենտ է, այսինքն գործողության կրկնակի կատարումը տալիս է միևնույն արդյունքը, ինչ որ ոչ կրկնակին

Իդեմպոտետություն՝ ${\displaystyle x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}$ ,

• Հակադիր տարրի տարբերությունը թիվը կրկնապատկում է՝ ${\displaystyle a-(-a)=a+a=2a,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A}$ ː

${\displaystyle \mathbb {N} }$  բնական թվերի համար տարբերության արդյունքը միշտ չէ, որ որոշված է, որպեսիզի տարբերության արդյունքում ստանանք բնական թիվ նվազելին պետք է մեծ լինի հանելիիցː Բնական թվերի սահմանում անհնար է փոքր թվից հանել մեծըː

${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$ բազմություններում որոշված հանման գործողության արդյունքում ստանում ենք թիվ (տարբերություն) հենց այդ բազմությունից, հետևաբար հանման գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններին (փակ են այն գործողությունները որնց արդյունքները պատկանում են միևնույն բազմությանը), այսինքն թվերի ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$  բազմությունները ձևավորում են օղակներ հանման գործողությանը համապատասխանː${\displaystyle }$

Հանման գործողությունը կարելի է պատկերացնել որպես որևէ սև արկղ որի մուտքի մոտ նվազելին և հանելին են, իսկ ելքի մոտ տարբերությունըː

Երկու թվերի հանման գործողության գործնական կատարման ժամանակ անհրաժեշտ է այն բերել ավելի պարզ գործողությունների կատարման՝ պարզ հանում, փոխառություն, համեմատություն և այլնː Սրա համար մշակվել են հանման մի քանի տարբերակներ թվերի, վեկտորների, կոտորակների և այլ մեծությունների համարː Բնական թվերի բազմության մեջ այժմ օգտագործվում է հանման կարգային ալգորիթմըː Ընդ որում հանումը անհրաժեշտ է դիտարկել որպես ընթացակարգ (ի տարբերություն գործողության)ː

Երկու թվերի կարգային հանման գործողության մոտավոր ալգորիթմ

 

Ինչպես տեսնում ենք գործեղությունը բավականին բարդ է, կազմված է որոշակի մեծ քանակի քայլերից և մեծ թվերի հանման ժամանակ կարող է զբաղեցնել տևական ժամանակː

 

Տվյալ կոնտեքստում պարզ հանումն իրենից ենթադրում է քսանից փոքր թվերի հանման գործողությունը, որը հերթությամբ կարող է բերվել դեկրիմենտացմանː Այն համարվում է դեկրիմենտացման հիպերօպերատոր՝

${\displaystyle a-b=\operatorname {hyper-1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-1,b)=a^{(-1)}b}$  ${\displaystyle a{^{(-1)}}b=a-b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}\underbrace {-1-1-\dots -1} _{b}}$ ,

որտեղ՝ ${\displaystyle 1+1+\dots +1}$  -ինկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, կատարվել է ${\displaystyle a}$  անգամ,
${\displaystyle -1-1-\dots -1}$  - դեկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, իրականացված ${\displaystyle b}$  անգամː

Հանման գործողությունը ավելի արագ և պարզ դարձնելու համար օգտվում են պարզ հանման աղյուսակային մեթոդիցː Սրա համար նախապես կազմում են 18-ից 0 թվերի տարբերության բոլոր կոմբինացիաները և այն վերցնում են հետևյալ աղյուսակից.

Այս գործընթացը կիրառելի է բնական և ամբողջ (նշանը հաշվի առնելով) թվերի բազմությունների համարː Այլ թվերի համար կիրառվում են ավելի բարդ ալգորիթմներː

Բնական թվեր

Օգտվենք ${\displaystyle \mathbb {N} }$  բնական թվերից որպես վերջավոր բազմությունների համարժեք դասː ${\displaystyle C,A,B}$  վերջավոր բազմությունների համարժեքության դասերից բիեկցիայով առաջացած բազմությունները նշանակենք փակագծերի օգնությամբ՝ ${\displaystyle [C],[A],[B]}$ ː Այս դեպքում «հանման» թվաբանական գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կորպ.

${\displaystyle [C]=[A]-[B]=[A\setminus B]}$ ,

որտեղ ${\displaystyle A\setminus B=\{C\in A\mid C\not \in B\mid B\subset A\}}$  — բազմությունների տարբերությունն էː Այս գործողությունը դասերի համար գրված է հակիրճ, այսինքն կախված չէ դասերի տարրերի ընտրությունից և համապատասխանում է ինդուկտիվ սահմանումներինː

${\displaystyle A}$ վերջավոր բազմության փոխադարձ միանշանակ պատկերումը ${\displaystyle N_{a}}$ հատվածի վրա կարելի է հասկանալ որպես ${\displaystyle A}$  բազմության տարրերի համարակալում՝${\displaystyle \quad A\sim N_{a}}$ ː Համարակալման այս պրոցեսը կոչվում է «հաշիվ»ː Այսպիսով հաշիվը դա փոխադարձ միանշանակ համապատասխանությունն է բազմության տարրերի և բնական թվերի շարքի հատվածի միջևː

Կարգային համակարգում բնական թվերի հանման համար կիրառվում է թվերի նշանակման կարգային ալգորիթմըː Եթե տրած են երկու, այնպիսի բնական ${\displaystyle a}$  և ${\displaystyle b}$  թվեր, որ

${\displaystyle a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \forall a_{k},b_{k}\in \{P\},\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0,\quad a\geqslant b,\quad \exists 0\in \mathbb {N} }$ 

որտեղ՝ ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k}}$ , ${\displaystyle n}$  - թվի թվանշանների քանակն է ${\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,n\}}$ , ${\displaystyle k}$  - կարգի հերթական համարն է (դիրքը), ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$ , ${\displaystyle P}$  - հաշվարկման հիմնական համակարգն է, ${\displaystyle \{P\}}$ -ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվային նշանների (թվերի) բազմությունն է${\displaystyle \{P_{2}\}=\{0,1\}}$ , ${\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$ , ${\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\}}$ , երբ

${\displaystyle c=a-b,\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}-b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},}$ 

Հանելով ըստ կարգերի կստանանք՝

• ${\displaystyle c_{0}={\begin{cases}a_{0}-b_{0},\quad &{\text{if }}a_{0}\geqslant b_{0}{\text{ }}\\a_{0}+P-b_{0},\quad a_{1}=a_{1}-1&{\text{if }}a_{0}$ 
• ${\displaystyle c_{1}={\begin{cases}a_{1}-b_{1},\quad &{\text{if }}a_{1}\geqslant b_{1}{\text{ }}\\a_{1}+P-b_{1},\quad a_{2}=a_{2}-1&{\text{if }}a_{1}$ 
• ${\displaystyle ...\quad \quad ...\quad \quad ...}$ 
• ${\displaystyle c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}-b_{n-1},\quad &{\text{if }}a_{n-1}\geqslant b_{n-1}{\text{ }}\\a_{n-1}+P-b_{n-1},\quad a_{n}=a_{n}-1&{\text{if }}a_{n-1}$ 

Այսպիսով հանման գործեղությունը բրվում է բնական թվերի պարզ հանման ${\displaystyle a_{k}-b_{k}}$  գործողության հաջորդական կատարման, անհրաժեշտության դեպքում փոխառության կիրառմամբ, որը կատարվում է կամ աղյուսակային մեթոդով կամ դեկրիմենտացմամբ (հաշվով)ː

Ցանկացած հաշվարկման համակարգում հանման գործողությունը կատարվում է նույն կանոննորով, ինչ որ տասնորդական հաշվարկման համակարգում, քանի որ դրանք բոլորը կատարվում են բազմանդամների համապատասխան գործողությունների կատարման կանոններին համապատասխանː Ընդ որում անհրաժեշտ է օգտվել տվյալ հաշվարկման համակարգի ${\displaystyle P}$ հիմքին համապատասխան հանման աղյուսակիցː

Երկուական, տասնորդական և տասնվեցական համակարգերում հանման գործողության օրինակներ, հարմարավետության համար թվերը համապատասխան կարգերով գրված են իրար տակ, փոխառման նշանը գրվում է վերևից, բացակայող կարգերը ավելացվում են զրոներով՝

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}&.&.&_{10}&&.&_{10}\\&1&1&0&1&1&0\\-&0&1&1&1&0&1\\\hline &&1&1&0&0&1\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&_{10}&\\&8&4&5&6&7\\-&3&7&5&4&1\\\hline &4&7&0&2&6\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&_{10}&&&_{.}&_{10}\\&C&5&6&D&E&4\\-&0&F&2&A&1&F\\\hline &B&6&4&3&C&5\end{array}}}$ 

Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվերի բազմությունը ${\displaystyle \mathbb {N} }$ բնական թվերի ընդլայնումն է, որն առաջանում է ${\displaystyle -n}$  տեսքի բացասական թվերի ավելացմաբː Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակում են ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ովː Ամբողջ թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես բնական թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակությունː

Բացասական թվերի առկայությունը թույլ է տալիս հանումը դիտարկել (և սահմանել), որպես գումարման տարատեսակ՝ բացասական թվի գումարումː Ի տարբերություն բնական թվերի ամբողջ թվերը թվային առանցքի վրա ուղղված են հակառակ ուղղությամբ, սա որոշակիորեն փոխում է հանման գործողության ընթացքըː Անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերի փոխադարձ ուղվածությունները, այստեղ հնարավոր են մի քանի տարբերակներ.

 

• Եթե երկու արգումենտներն էլ դրական են, ապա՝ ${\displaystyle c=a-b}$ ,
• Եթե բացասական է արգումենտներից միայն մեկը, ապա՝ ${\displaystyle c=-a-b=-(a+b)}$ կամ ${\displaystyle c=a-(-b)=a+b}$ ,
• Եթե երկու արգումենտներն էլ բացասական են, ապա՝ ${\displaystyle c=(-a)-(-b)=-a+b=b-a}$ ː

Այստեղ և հաջորդիվ ևս օգտագործվելու է կարգային հանման ալգորիթմըː Օրինակ դիտարկենք հետևյալ արտահայտությունը՝ ${\displaystyle -6-4=-10}$ , քանի որ ${\displaystyle -6}$ և ${\displaystyle 4}$  թվերն ունեն տարբեր նշաններ, մինուսը դուրս բերենք փակագծերից ${\displaystyle -6-4=-(6+4)}$ , շարունակելով կատարել հանման գործողությունը կստանանք ${\displaystyle -10}$ ː

Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (անգլ.՝ quotient «քանորդ») և կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝ ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}}$ 

Սովորական՝ ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$  տեսքի կոտորակային ռացիոնալ թվերի հանման համար, անհրաժեշտ է դրանք ընդհանուր հայտարարի բերելː

Եթե տրված են երկու այնպիսի ${\displaystyle a}$  և ${\displaystyle b}$ ռացիոնալ թվեր, որ ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0}$  (կոտորակները չեն կրճատվում), ապա՝${\displaystyle c=a-b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}-{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}-{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}-m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}$  , կամ անհրաժեշտ է գտնել հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըː Գործողությունների հաջորդականությունը հետևյալն է.

• • Գտնում ենք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը՝ ${\displaystyle M=[n_{a},n_{b}]}$ ː
  • Բազմապատկում ենք առաջին կոտորակի համարիչը և հայտարարը՝ ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a}}}}$ ː
  • Բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի համարիչ և հայտարարը՝ ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b}}}}$ ː

Այս գործողությունից հետո կոտորակների հայտարարները համընկնում են (հավասար են ${\displaystyle M}$ -ի)ː Մի շարք պարզ դեպքերում սա հերթացնում է հանման գործեղությունը, բայց մեծ թվերի դեպքում հաշվարկները զգալիորեն բարդանում ենː ${\displaystyle M}$ -ի փոխարեն կարելի է վերցնել ցանկացած այլ ընդհանուր բազմապատիկː

Հանման օրինակ՝

${\displaystyle {\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}-{\frac {3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5-3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10-3}{15}}={\frac {7}{15}}}$ 

Եթե երկու կոտորակների հայտարարները համընկնում են ապա՝

${\displaystyle {\frac {1}{4}}-{\frac {2}{4}}={\frac {1-2}{4}}=-{\frac {1}{4}}}$ 

Եթե հայտարարները բազմապատիկ են մեկ այլ թվի, ապա ձևավորում ենք միայն մի կոտորակ՝

${\displaystyle {\frac {3}{8}}-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}-{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2}}={\frac {3-1\cdot 2}{8}}={\frac {1}{8}}}$ 

Ռացիոնալ թվերի «հանման» թվաբանական գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններինː

Իրական թվեր

Անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով ներկայացված իրական թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես ռացիոնալ թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակություն ː

Եթե տրված են երկու անվերջ տանորդական կոտորակային թվեր՝

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\}}$ ,

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\}}$ 

սահմանված համապատասխան ռացիոնալ թվերի ֆունկցիոնալ հաջորդականություններով, նշանակված որպես՝ ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$  և ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$ , ապա նրանաց տարբերությունը կլինի ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$ , սահմանված ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  և ${\displaystyle \{b_{n}\}}$  հաջորդականությունների տարբերությամբ՝

${\displaystyle \gamma =\alpha -\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]-[b_{n}]=[a_{n}-b_{n}]}$ ,

${\displaystyle \gamma =\alpha -\beta }$  իրական թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \alpha -\beta \leqslant a''-b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \gamma \leqslant a''-b'')}$ ː

Այսպիսով երկու  ${\displaystyle \alpha }$  և ${\displaystyle \beta }$  իրական թվերի տարբերությունը այնպիսի ${\displaystyle \gamma }$  իրական թիվ է, որը մի կողմից պարունակվում է բոլոր ${\displaystyle a'-b'}$ , մյուս կողմից բոլոր ${\displaystyle a''-b''}$  տարբերություններումː

Գործնականում որպեսիզի հանենք երկու ${\displaystyle \alpha }$  և ${\displaystyle \beta }$ թվերը, անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել պահանջվող ճշտությամբ մոտավոր ռացիոնալ ${\displaystyle a}$  և ${\displaystyle b}$ թվերեվː Որպես ${\displaystyle \alpha -\beta }$ -ի մոտավոր տարբերություն վերցնում են ${\displaystyle a-b}$  ռացիոնալ թվերի տարբերությունըː Ընդ որում կարևոր չէ, թե որ կողմից (պակասորդի թե ավելցուկի) են վերցված թվերը, դրանք մոտեցնում են ${\displaystyle \alpha }$ -ին և ${\displaystyle \beta }$ -ինː Գումարումը կատարվում է համաձայն կարգաին գումարման ալգորիթմիː

Մոտավոր թվերի հանման ժամանակ նրանց բացարձակ սխալանքները գումարվում են ${\displaystyle \Delta (a-b)=\Delta a+\Delta b}$ , որպես թվի բացարձակ սխալանք վերցվում է տվյալ թվի վերջին թվանշանի կեսըː Տարբերության հարաբերական սխալանքը հավասար է արգումենտների ամենամեծ և ամենափոքր հարաբերական սխալանքների տարբերությանը, գործնականում վերցվում է ամենամեծ սխալանքը ${\displaystyle \delta (a-b)=max(\delta a,\delta b)}$ ː Ստացված արդյունքը կլորացվում է մինչև թվի առաջին ճիշտ իրական արժեքը, մոտավոր թվի իրական արժեքը համարվում է ճիշտ, եթե թվի բացարձակ սխալանքը չի գերազանցում այդ թվին համապատասխանող կարգի միավորի կեսըː

Հանման օրինակ՝ ${\displaystyle \gamma =\pi -e}$ , ստորակետից հետո մինչև 3 թվի ճշտությամբ՝

• Կլորացնում ենք տրված թիվը ստորակետից հետո մինչև 4-րդ թվանշանը (հանման ճշտության բարձրցման համար),
• Կստանանք՝ ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183}$ ,
• Հանում ենք ըստ կարգերի՝ ${\displaystyle \gamma =\pi -e\approx 3.1416-2.7183\approx 0.4233}$ ,
• Կլորացնում ենք մինչև ստորակետից հետո 3-րդ թվանշանը՝ ${\displaystyle \gamma \approx 0.423}$ ː

Գրաֆիկ

Իրական թվերի տարբերության ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և թեքվում է առանցքի հանդեպ 45° աստիճան անկյան տակː

 

Քանի որ ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$ , ապա այս բազմությունների համար ևս հանման ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կպատկանի այս հարթությանըː

Կոմպլեքս թվեր

 

Կոմպլեքս թվերի բազմությունը թվաբանական գործողություների հետ միասին համարվում է դաշտ և սովորաբար նշանակվում է ${\displaystyle \mathbb {C} }$  սիմվոլովː

Կոմպլեքս թվերը մեկը մյուից հանվում են իրական և կեղծ մասերի իրարից հանելու ճանապարհովː Սա նշանակում է, որ՝

${\displaystyle c+fi=(a+di)-(b+ei)=(a-b)+(d-e)i,\ }$ 

որտեղ՝ ${\displaystyle c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle i}$  — կեղծ միավորն էː Կոմպլեքս հարթության մեջ կոմպլեքս թվերը որպես վեկտորներ օգտագործելու ժամանակ կոմպլեքս թվերի հանմանը կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը՝ ${\displaystyle a+di}$  և ${\displaystyle b+ei}$  կոմպլեքս թվերի տարբերությունը, որոնք կոմպլեքս հարթության մեջ ներկայացված են վեկտորներ տեսքով, իրենից ներկայացնում է վեկտոր, որը միացնում է նավազելի և հանելի վեկտորների ծայրերը և ուղղված է հանելիից դեպի նվազելի, այն համարվում է վեկտորների տարբերություն և համապատասխանաբար կոմպլեքս թվերի տարերություն (նույն արդյունքը կստանանք եթե նվազելի վեկտորին ավելացնենք հանելի վեկտորի հակադարձը)ː

Համանմանորեն n չափանի կոմպլեքս թվերի համար. ${\displaystyle A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n}}$ ${\displaystyle C=A-B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})-(b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n})=}$  ${\displaystyle =(a_{1}-b_{1})1+(a_{2}-b_{2})i_{2}+\dots +(a_{n}-b_{n})i_{n}=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\dots +c_{n}i_{n}}$ 

Էքսպոնենցիալ գրելաձև

Էքսպոնենցիալ գրության ժամանակ թվերը գրվում են ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}$  տեսքով, որտեղ ${\displaystyle x}$ -ը մանտիսն է, ${\displaystyle P^{n}}$ -ը թվի բնութագիրն է, ${\displaystyle P}$  -ն հաշվարկման համակարգի հիմքըː Էքսպոնենցիալ ձևով գրված երկու թվերի հանման համար անհրաժեշտ է որպեսիզի նրանց բնութագրերը լինեն նույնըː Համաձայն բաշխականության հատկության՝ ${\displaystyle a\cdot P^{n}-b\cdot P^{n}=(a-b)\cdot P^{n}}$ ː

Օրինակ՝

${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}-5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}-0.567\cdot 10^{-5}=(2.34-0.567)\cdot 10^{-5}=1.773\cdot 10^{-5}}$ 

Կամայական թվերի հանում

Տարբեր բազմությունների պատկանող թվերի հանման ժամանակ անհրաժեշտ է ավելի թույլ հզորությամբ բազմության թվերը ընդլայնել ավելի հզոր թվերի կողմը, կամ հնարավորության դեպքում երկու թվերն էլ ընդլայնել դրանք հավասարեցնելովː Օրինակ եթե անհրաժեշտ է ${\displaystyle 9,56}$  ռացիոնալ թվից հանել բնական ${\displaystyle 4}$  թիվը, ապա օգտվելով այն բանից որ բնական թվերը համարվում են ռացիոնալ թվերի ենթախումբ ${\displaystyle 4}$  բնական թիվը ընդլայնոմ ենք մինչև ${\displaystyle 4,00}$  ռացիոնալ թիվ և իրարից հանում ենք երկու ռացիոնալ թվեր ${\displaystyle 9,56-4,00=5,56}$ ː Համանմանորեն հաշվի առնելով, որ ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} }$  կարելի է իրարից հանել նաև տարբեր բազմությունների թվերː

• Գումար
• Գումարում
• Բազմապատկում