Odejmowanie – działanie odwrotne do dodawania.
Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.
Odejmowanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem minusa.
Odejmowanie zalicza się do czterech podstawowych działań arytmetycznych.
Najczęściej używane jest odejmowanie liczb, np. co czyta się: „trzy minus dwa równa się jeden” albo „trzy odjąć dwa równa się jeden”.
Poniżej podany jest przykład obliczania różnicy dwóch trzycyfrowych liczb: i Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:
Cyfrą jedności jest cyfrą jedności jest Obliczamy więc na pozycji jedności pod kreską piszemy
Cyfrą dziesiątek jest cyfrą dziesiątek jest Ponieważ i wynik wyszedłby ujemny „pożyczamy” z następnej pozycji. Oznacza to, że teraz dodajemy a przy następnej cyfrze odejmiemy Mamy zatem piszemy pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a pożyczamy z kolumny setek, co można sobie zanotować na boku:
Pozostała kolumna setek: odejmujemy (ten 1 to „pożyczka”) z trzeciej kolumny, otrzymując piszemy w kolumnie setek pod kreską:
otrzymując wynik
W ten sposób odejmuje się zawsze mniejszą liczbę od większej. Jeśli chcemy odjąć większą od mniejszej, zamieniamy je, odejmujemy, a na koniec przed wynikiem stawiamy znak minusa (gdyż wynik będzie wtedy liczbą ujemną). Na przykład chcąc obliczyć obliczamy a następnie dostawiamy minus otrzymując
Ten sam algorytm może służyć do odejmowania liczb w dowolnym systemie pozycyjnym.
Możliwe są cztery przypadki, różniące się znakiem odejmowanych liczb:
Zamiast tych reguł wystarczy pamiętać jedną: odjąć liczbę – to znaczy dodać przeciwną do niej liczbę
Dla liczb wymiernych i odejmowanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.
Wówczas można zastosować wzór:
Najmniejszym wspólnym mianownikiem, jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników odjemnej i odjemnika.
Przykład:
Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika najłatwiej wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Odejmowanie sprowadza się wtedy do wzoru:
Przykład:
W przypadku odejmowania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć obydwie liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:
Formalnie odejmowanie definiowane jest jako działanie odwrotne do dodawania:
Działanie odejmowania można także zdefiniować osobno dla każdego rodzaju liczb:
Odjemna | Odjemnik | Różnica |
---|---|---|
parzysta | parzysty | parzysta |
nieparzysta | nieparzysty | parzysta |
parzysta | nieparzysty | nieparzysta |
naturalna | naturalny | całkowita |
całkowita | całkowity | całkowita |
całkowita | niecałkowity | niecałkowita |
wymierna | wymierny | wymierna |
wymierna | niewymierny | niewymierna |
większa | mniejszy | dodatnia |
mniejsza | większy | ujemna |
algebraiczna | algebraiczny | algebraiczna |
algebraiczna | przestępny | przestępna |
rzeczywista | rzeczywisty | rzeczywista |
zespolona | zespolony | zespolona |
Odejmowanie wykonujemy od lewej do prawej:
Kolejność wykonywania odejmowania ma znaczenie (odejmowanie nie jest łączne):
ale
Odejmowanie nie jest również przemienne, zamiana argumentów zmienia znak różnicy:
ale
Różnicę funkcji gdzie jest pewnym zbiorem ze dodawaniem jako działaniem wewnętrznym (czyli grupą czy, w szczególności, przestrzenią liniową) definiuje się jako
Przykłady użycia:
Działanie odejmowania można określić w pierścieniu Zn.
Odejmowanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia różnicy liczb przez Przykład: w algebrze zachodzi:
Odejmowanie wektorów polega na odejmowaniu ich współrzędnych. Można też sprowadzić odejmowanie wektora do dodawania wektora o przeciwnym zwrocie. Wówczas takie dwa wektory można dodawać algebraicznie lub geometrycznie (używając reguły trójkąta lub reguły równoległoboku)
Gdy jest punktem oraz jest wektorem to różnicę należy rozumieć jako translację punktu o wektor
Odejmowanie elementów i jest określane jako działanie odwrotne do dodawania:
Nie zawsze istnieje element o takich właściwościach. Na przykład w zbiorze liczb naturalnych, tworzących z dodawaniem tzw. półgrupę, nie da się odjąć większej liczby od mniejszej. W strukturach algebraicznych zwanych grupami jest to już zawsze możliwe (jeśli to grupa addytywna); tam zawsze gdzie jest elementem przeciwnym do Czasem w różnych abstrakcyjnych strukturach, dla odróżnienia od zwykłego odejmowania liczb, stosuje się inny podobny znak, np.
Generalnie w strukturach zwanych pierścieniami odejmowanie nie jest przemienne, łączne, jest jednak rozdzielne względem mnożenia (w przypadku przestrzeni liniowej jest to rozdzielność względem mnożenia wektora przez skalar).
Równości i kongruencje można odejmować stronami:
This article uses material from the Wikipedia Polski article Odejmowanie, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Treść udostępniana na licencji CC BY-SA 4.0, jeśli nie podano inaczej. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Polski (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.