Алыу

Яҙылышта «минус» тамғаһы менән тамғалана: ${\displaystyle a-b=c}$ . Алыу — ҡушыуға кире ғәмәл.

Дөйөм рәүештә ошолай яҙырға мөмкин: ${\displaystyle {\overline {S}}(a,b)=c}$, бында ${\displaystyle a\in A}$ һәм ${\displaystyle b\in A}$. Йәғни ${\displaystyle A}$ күмәклегенән алынған һәр ${\displaystyle (a,b)}$ элементтар парына ${\displaystyle a}$ һәм ${\displaystyle b}$-ның айырмаһы тип аталған ${\displaystyle c=a-b}$ элементы ярашлы ҡуйыла.
Алыу ғәмәле ике элемент та бер үк күмәклеккә ингәндә генә (бер үк типта булғанда) башҡарылырға мөмкин.

Тиҫкәре һандар булғанда алыу ғәмәлен ҡушыуҙың бер төрө итеп ҡарау (билдәләү) уңайлы - ҡапма-ҡаршы һанды ҡушыу. Миҫал өсөн, ${\displaystyle 5-2=3}$ алыу ғәмәлен ҡушыу итеп ҡарап була: ${\displaystyle 5+(-2)=3}$.

Ысын һандар күмәклегендә ҡушыу функцияһының ҡиммәттәре күмәклеге графикта координаталар башы аша үтеүсе һәм координаталар күсәренә 45° мөйөш градусы ауышлыҡта булған яҫылыҡ күренешендә.

Алыу ғәмәленең бер нисә мөһим үҙсәнлеге бар (мәҫәлән ${\displaystyle A=}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ өсөн):

Антикоммутативлыҡ: ${\displaystyle a-b\neq b-a,\quad \forall a,b\in \ A.}$
Антиассоциативлыҡ: ${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A.}$
Дистрибутивлыҡ: ${\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.}$
${\displaystyle 0}$ (нуль элементты) алыу бирелгән һанға тигеҙ булған һанды бирә: ${\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.}$

Миҫал рәүешендә, ${\displaystyle 5-2=3}$ яҙыуы уңдағы һүрәттә, биш алманан ике алманы алһаң, өс алма тороп ҡалыуын күрһәтә. Миҫал өсөн, 5 алманан 2 грушаны алып булмауын билдәләп китәйек. Алманы иҫәпләүҙән тыш, алыу ғәмәле башҡа физик һәм абстракт дәүмәлдәрҙең, мәҫәлән тиҫкәре һандарҙың, кәсер һандарҙың, векторҙарҙың, функцияларҙың һ.б. айырмаһы рәүешендә күрһәтелергә мөмкин.

 

Алыу ғәмәле "минус" символын ҡулланып яҙыла: «${\displaystyle -}$ » аргументтар араһында, бындай яҙыу формаһы инфикслы нотация тип атала. Бындай контекста "минус" символы бинар оператор була. Һөҙөмтә тигеҙлек тамғаһын «${\displaystyle =}$ » ҡулланып яҙыла, мәҫәлән:

${\displaystyle a-b=c}$  ;
${\displaystyle 6-3=3}$  («алты минус өс тигеҙ өскә») ;
${\displaystyle 64-35=29}$  («алтмыш дүрт минус утыҙ биш тигеҙ егерме туғыҙға») .

Яҙылышта "минус" башҡа яҙма символдарға: "дефис", "тире" һ.б. бик оҡшаш. Символды хаталы таныу булмаһын өсөн аңлатманы иғтибарлы ҡарарға кәрәк.

Алыу ғәмәле ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$  һандар күмәклектәрендә түбәндәге төп үҙсәнлектәргә эйә:

• Алыу антикоммутативлы — аргументтарҙың урынын үҙгәртеүҙән айырма үҙгәрә:

Антикоммутативлыҡ: ${\displaystyle a-b\neq b-a,\quad \forall a,b\in \ A.}$ 

• Алыу антиассоциативлы — өс йәки күберәк һандарҙы эҙмә-эҙ алыу ғәмәлен башҡарғанда ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибе әһәмиәтле, һөҙөмтә үҙгәрә:

Антиассоциативлыҡ: ${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A.}$ 

• Алыу дистрибутивлы, был — бер үк күмәклектә билдәләнгән ике бинар операцияның ярашыусанлыҡ үҙсәнлеге, таратыу законы булараҡ та билдәле .

Дистрибутивлыҡ: ${\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.}$ 

• ${\displaystyle A}$  күмәклегендә алыуға ҡарата бер генә нейтраль элемент бар, һандан нуль (йәки нейтраль элементты) алыу бирелгән һанға тигеҙ һанды бирә:

Нуль элемент: ${\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.}$ 

• Нулде алыу идемпотентлы — объектҡа операцияны ҡабат ҡулланыу бер тапҡыр ҡулланғандағы кеүек шул уҡ һөҙөмтәне бирә:

Идемпотентлыҡ: ${\displaystyle x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}$ ;

• Ҡапма-ҡаршы элементты алыу икеләтелгән һанды бирә:

${\displaystyle a-(-a)=a+a=2a,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.}$ 

Алыу һөҙөмтәһе натураль һандар ${\displaystyle \mathbb {N} }$  күмәклеге өсөн һәр ваҡытта ла билдәләнмәй: алыу һөҙөмтәһендә натураль һан табыу өсөн кәмеүсе кәметеүсенән ҙурыраҡ булырға тейеш. Натураль һандар сигендә бәләкәй һандан ҙурыраҡ һанды алып булмай. ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$  күмәклектәрендә билдәләнгән алыу ғәмәле шул уҡ күмәклеккә ингән һанды (айырманы) бирә, тимәк алыу операцияһы йомоҡ операцияға инә (һөҙөмтәне бирелгән күмәклектән сығармаған операция), йәғни ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$  күмәклектәре алыу операцияһына ҡарата балдаҡ булалар.

Алыу операцияһын ингән ерҙә кәмеүсе һәм кәметеүсе һәм бер генә сығыу урыны - айырма булған ниндәйҙер "ҡара йәшник" тип күҙ алдына килтереп була. :

 

Ике һанды алыу мәсьәләһен практикала башҡарғанда уны ябайыраҡ операциялар теҙмәһенә ҡайтарып ҡалдырырға кәрәк: "ябай алыу", бурыс, сағыштырыу һ.б. Бының өсөн алыуҙың төрлө ысулдары эшләнгән, мәҫәлән һандар, кәсерҙәр, векторҙар өсөн һ.б. Натураль һандар күмәклегендә хәҙерге ваҡытта разрядлап алыу алгоритмы ҡулланыла. Был осраҡта алыуҙы (операциянан айырмалы рәүештә) процедура итеп ҡарарға кәрәк.

Ике һанды разрядлап алыу процедураһы алгоритмы

 

Күренеүенсә, процедура ҡатмарлы ғына, сағыштырмаса ҙур һандағы аҙымдарҙан тора һәм ҙур һандарҙы алыу оҙайлы ваҡыт биләүе мөмкин.

 

"Ябай алыу" - был контекста егерменән кәмерәк һандарҙы алыуҙы аңлата, бик еңел иҫәпләүгә ҡайтарып ҡалдырыла, иҫәпләүҙең гипероператоры булып тора:

${\displaystyle a-b=\operatorname {hyper-1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-1,b)=a^{(-1)}b.}$ 

${\displaystyle a{^{(-1)}}b=a-b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}\underbrace {-1-1-\dots -1} _{b}.}$ 

бында: ${\displaystyle 1+1+\dots +1}$  - ${\displaystyle a}$  тапҡыр башҡарылған инкрементирләү операциялары теҙмәһе;
${\displaystyle -1-1-\dots -1}$  - ${\displaystyle b}$  тапҡыр башҡарылған последовательность операция декрементирләү операциялар теҙмәһе.

Алыу процессын тиҙләтеү өсөн "ябай алыу" таблица методын ҡулланалар, бының өсөн 18-ҙән 0-гә тиклем бөтә һандар айырмаһы комбинацияһын алдан иҫәпләйҙәр һәм был таблицанан әҙер яуапты алалар :

Был процедура натураль һәм бөтөн һандарҙы (тамғаны иҫәпкә алып) алыуҙа ҡулланыла. Башҡа һандар өсөн ҡатмарлыраҡ алгоритм ҡулланыла.

Натураль һандар

Натураль һандарҙың ${\displaystyle \mathbb {N} }$  сикле күмәклектәрҙең эквивалентлылыҡ кластары тигән билдәләмәһе м[енән файҙаланайыҡ . Биекциялар барлыҡҡа килтергән ${\displaystyle C,A,B}$  сикле күмәклектәренең эквивалентлылыҡ кластарын йәйәләр ярҙамында тамғалайыҡ: ${\displaystyle [C],[A],[B]}$ . Ул саҡта «алыу» арифметик операцияһы ошолай билдәләнә:

${\displaystyle [C]=[A]-[B]=[A\setminus B];}$ 

бында ${\displaystyle A\setminus B=\{C\in A\mid C\not \in B\mid B\subset A\}}$  — күмәклектәр айырмаһы. Был кластар өҫтөндә операция нәзәҡәтле, йәғни класс элементтарын һайлауға бәйле түгел һәм индуктив билдәләмә менән тап килә.

${\displaystyle A}$  сикле күмәклеген ${\displaystyle N_{a}}$  киҫегенә үҙ-ара бер мәғәнәле сағылдырыуҙы ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a}}$  күмәклегенең элементтарын нумерациялау тип аңлап була. Был нумерациялау процесын «һанау» тип атайҙар. Шулай итеп, «һанау» - күмәклек элементтары һәм натураль һандар рәте киҫеге араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлылыҡ урынлаштырыу ул. Позицион иҫәпләү системаһында натураль һандарҙы алыу өсөн разрядтар буйынса алыу алгоритмы ҡулланыла. Әгәр шундай ике ${\displaystyle a}$  һәм ${\displaystyle b}$  натураль һандары бирелһә:

${\displaystyle a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \forall a_{k},b_{k}\in \{P\},\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0,\quad a\geqslant b,\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;}$ 

бында ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k}}$ ; ${\displaystyle n}$  - ${\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,n\}}$  һанының цифрҙары һаны; ${\displaystyle k}$  - разрядтың (позицияның) рәт номеры, ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$ ; ${\displaystyle P}$  - иҫәпләү системаһының нигеҙе; ${\displaystyle \{P\}}$  конкрет иҫәпләү системаһының һан тамғалары (цифрҙары) һаны: ${\displaystyle \{P_{2}\}=\{0,1\}}$ , ${\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$ , ${\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\}}$ ; ул саҡта:

${\displaystyle c=a-b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}-b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0};}$ 

разрядтары буйынса алып, табабыҙ:

• ${\displaystyle c_{0}={\begin{cases}a_{0}-b_{0},\quad &{\text{if }}a_{0}\geqslant b_{0}{\text{ }}\\a_{0}+P-b_{0},\quad a_{1}=a_{1}-1&{\text{if }}a_{0}$ 
• ${\displaystyle c_{1}={\begin{cases}a_{1}-b_{1},\quad &{\text{if }}a_{1}\geqslant b_{1}{\text{ }}\\a_{1}+P-b_{1},\quad a_{2}=a_{2}-1&{\text{if }}a_{1}$ 
• ${\displaystyle ...\quad \quad ...\quad \quad ...}$ 
• ${\displaystyle c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}-b_{n-1},\quad &{\text{if }}a_{n-1}\geqslant b_{n-1}{\text{ }}\\a_{n-1}+P-b_{n-1},\quad a_{n}=a_{n}-1&{\text{if }}a_{n-1}$ 

Шулай итеп алыу операцияһы, кәрәк булғанда бурысҡа алып, натураль һандарҙы ябай эҙмә-эҙ алыу процедураһына ${\displaystyle a_{k}-b_{k}}$  ҡайтарылып ҡалдырыла. Ябай алыу йә таблица ысулы, йә иҫәпләү менән башҡарыла.

Теләһә ниндәй позицион иҫәпләү системаһында һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәрҙе башҡарыу унарлы иҫәпләү системаһындағы кеүек ҡағиҙәләр буйынса башҡарыла,сөнки улар бөтәһе лә ярашлы күпбыуындар өҫтөндә ғәмәлдәр башҡарыу ҡағиҙәләренә таяна. Был ваҡытта бирелгән иҫәпләү системаһының нигеҙе ${\displaystyle P}$ -ға ярашлы алыу таблицаһын файҙаланырға кәрәк.

Натураль һандарҙы алыу миҫалы икеле, унарлы һәм уналтылы иҫәпләү системаларында, уңайлы булһын өсөн, һандар бер-береһенең аҫтына разрядтарын тап килтереп яҙыла, бурыс тамғаһы өҫтә яҙыла, етешмәгән разрядтар нулдәр менән тулыландырыла:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}&.&.&_{10}&&.&_{10}\\&1&1&0&1&1&0\\-&0&1&1&1&0&1\\\hline &&1&1&0&0&1\end{array}};\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&_{10}&\\&8&4&5&6&7\\-&3&7&5&4&1\\\hline &4&7&0&2&6\end{array}};\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&_{10}&&&_{.}&_{10}\\&C&5&6&D&E&4\\-&0&F&2&A&1&F\\\hline &B&6&4&3&C&5\end{array}}.}$ 

Бөтөн һандар

Бөтөн һандар күмәклеге — натураль һандар күмәклеге ${\displaystyle \mathbb {N} }$ -ға ${\displaystyle -n}$  күренешендәге тиҫкәре һандарҙы өҫтәп киңәйткән күмәклек ул . Бөтөн һандар күмәклеге ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$  тип тамғалана. Бөтөн һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр натураль һандар өҫтөндәге ярашлы ғәмәлдәрҙең өҙлөкһөҙ дауамы булараҡ билдәләнәләр.

 

Тиҫкәре һандарҙың булыуы "алыуҙы" "ҡушыуҙың" бер төрө - ҡапма-ҡаршы һанды ҡушыу итеп ҡарарға (билдәләргә) мөмкинлек бирә .Әммә был мәҡәлә сиктәрендә "алыуҙы" бөтөн һандар күмәклегендә билдәләнгән ғәмәл итеп ҡарайбыҙ, был шулай уҡ башҡа һанлы күмәклектәргә лә ҡағыла. Натураль һандарҙан айырмаһы шунда, тиҫкәре һандар һанлы тура һыҙыҡта кире яҡҡа йүнәлгәндәр, был алыу процедураһын бер аҙ үҙгәртә. Һандарҙың үҙ-ара йүнәлешен иҫәпкә алырға кәрәк, бында бер нисә осраҡ булырға мөмкин:

• Әгәр ике аргумент та ыңғай булһа, ул саҡта: ${\displaystyle c=a-b;}$ 
• Әгәр аргументтарҙың береһе тиҫкәре булһа, ул саҡта: ${\displaystyle c=-a-b=-(a+b),}$  йәки ${\displaystyle c=a-(-b)=a+b;}$ 
• Әгәр ике аргумент та тиҫкәре булһа, ул саҡта: ${\displaystyle c=(-a)-(-b)=-a+b=b-a.}$ 

Бында артабан да разрядлап алыу (ҡушыу) алгоритмы ҡулланыла. Мәҫәлән, ${\displaystyle -6-4=-10}$  аңлатмаһын ҡарайыҡ; ${\displaystyle -6}$  һәм ${\displaystyle 4}$  һандарының тамғалары төрлө булғас, минус тамғаһын йәйә тышына сығарабыҙ: ${\displaystyle -6-4=-(6+4)}$ , артабан иҫәпләп яуап табабыҙ: ${\displaystyle -10}$ .

Рациональ һандар

Рациональ һандар күмәклеге ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  менән тамғалана (ингл. quotient «бүлендек») һүҙенән һәм ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}.}$  күренешендә яҙылырға мөмкин.

${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$  күренешендәге ғәҙәттәге (йәки ябай) кәсерҙәр рәүешендәге рациональ һандарҙы алыу өсөн уларҙы дөйөм (бер төрлө) знаменателгә килтерергә кәрәк. Мәҫәлән, знаменателдәрҙең ҡабатландығын алырға, числителдәр был осраҡта ярашлы знаменателдәргә ҡабатлана. Аҙаҡ килеп сыҡҡан числителдәрҙе алырға кәрәк, ә знаменателдәр ҡабатландығы уртаҡ знаменатель була.

Әгәр ике шундай ${\displaystyle a}$  һәм ${\displaystyle b}$  рациональ һандары бирелһә: ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0}$  (кәсерҙәр ҡыҫҡармай торған), ул саҡта:

${\displaystyle c=a-b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}-{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}-{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}-m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.}$  Ҡалып:Sfn-1

Йәки знаменателдәрҙең иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсеһен (ИБУБ) табырға кәрәк. Ғәмәлдәр тәртибе:

• Знаменателдәрҙең иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсеһен табабыҙ: ${\displaystyle M=[n_{a},n_{b}]}$ .
• Беренсе кәсерҙең числителен һәм знаменателен ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a}}}}$ -ға ҡабатлайбыҙ.
• Икенсе кәсерҙең числителен һәм знаменателен ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b}}}}$ -ға ҡабатлайбыҙ.

Бынан һуң ике кәсерҙең дә знаменателдәре тап килә (тигеҙ ${\displaystyle M}$ ). Ябайыраҡ осраҡта был иҫәпләүҙе ябайлаштыра, ләкин ҙур һандар менән эш иткәндә иҫәпләүҙәр һиҙелерлек ҡатмарлаша. ${\displaystyle M}$  сифатында башҡа теләһә ниндәй уртаҡ бүленеүсене алырға була.

Алыуға миҫал :

${\displaystyle {\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}-{\frac {3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5-3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10-3}{15}}={\frac {7}{15}}.}$ 

Әгәр ике кәсерҙең дә знаменателдәре тап килһә, ул саҡта:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}-{\frac {2}{4}}={\frac {1-2}{4}}=-{\frac {1}{4}}.}$ 

Әгәр знаменателдәрҙең береһе икенсеһенә бүленһә, кәсерҙәрҙең береһен генә үҙгәртәбеҙ:

${\displaystyle {\frac {3}{8}}-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}-{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2}}={\frac {3-1\cdot 2}{8}}={\frac {1}{8}}.}$ 

Рациональ һандар өҫтөндә «алыу» арифметик операцияһы йомоҡ операцияларға инә.

Ысын һандар

Сикһеҙ унарлы кәсер рәүешендә күрһәтелгән ысын һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр рациональ һандар өҫтөндәге ярашлы ғәмәлдәрҙең өҙлөкһөҙ дауамы кеүек билдәләнә .

Әгәр сикһеҙ унарлы кәсер рәүешендә күрһәтелгән, рациональ һандарҙың ярашлы фундаменталь эҙмә-эҙлектәре менән билдәләнгән (Коши шартын ҡәнәғәтләндергән), ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$  һәм ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$  тип тамғаланған ике ысын һан бирелһә:

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\}}$ ,

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\}}$ 

уларҙың айырмаһы тип ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  һәм ${\displaystyle \{b_{n}\}}$  эҙмә-эҙлектәренең айырмаһы менән билдәләнгән ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$  һанын атайҙар:

${\displaystyle \gamma =\alpha -\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]-[b_{n}]=[a_{n}-b_{n}]}$ ;

${\displaystyle \gamma =\alpha -\beta }$  ысын һаны түбәндәге шартты ҡәнәғәтләндерә:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \alpha -\beta \leqslant a''-b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \gamma \leqslant a''-b'')}$ .

Шулай итеп, ике ${\displaystyle \alpha }$  һәм ${\displaystyle \beta }$  ысын һандарының айырмаһы тип, бер яҡтан ${\displaystyle a'-b'}$  күренешендәге бөтә айырмалар һәм икенсе яҡтан ${\displaystyle a''-b''}$  күренешендәге бөтә айырмалар араһында ятҡан шундай ${\displaystyle \gamma }$  ысын һаны атала.

Практикала ике ${\displaystyle \alpha }$  һәм ${\displaystyle \beta }$  ысын һандарын алыу өсөн, уларҙы талап ителгән аныҡлыҡ менән яҡынса рациональ һандар ${\displaystyle a}$  һәм ${\displaystyle b}$  менән алмаштырырға кәрәк. Һандарҙың айырмаһының ${\displaystyle \alpha -\beta }$  яҡынса ҡиммәте итеп ошо рациональ һандарҙың айырмаһын ${\displaystyle a-b}$  алалар. Шуға өҫтәп, ҡайһы яҡтан (артығы менән йәки кәме менән) алынған рациональ һандар ${\displaystyle \alpha }$  һәм ${\displaystyle \beta }$ -ны яҡынайтыуы мөһим түгел. Ҡушыу разрядтары буйынса ҡушыу алгоритмы буйынса башҡарыла.

Яҡынса һандарҙы алғанда уларҙың абсолют хаталары ҡушыла ${\displaystyle \Delta (a-b)=\Delta a+\Delta b}$ , һандың абсолют хатаһы был һандың һуңғы тамғаһының яртыһына тигеҙ тип алына. Айырманың сағыштырма хатаһы аргументтарҙың иң ҙур һәм иң бәләкәй сағыштырма хаталары араһында ята; практикала уның иң ҙур ҡиммәте алына ${\displaystyle \delta (a-b)=max(\delta a,\delta b)}$ . Килеп сыҡҡан һөҙөмтәне беренсе дөрөҫ цифрға тиклем түңәрәкләйҙәр. Әгәр һандың абсолют хатаһы цифрға ярашлы разряд берәмегенең яртыһынан артмаһа, яҡынса һандың был цифры дөрөҫ цифр тип атала.

Өтөрҙән һуң 3-сө цифрға тиклем аныҡлыҡ менән алыуға ${\displaystyle \gamma =\pi -e}$  миҫал:

• Бирелгән һандарҙы өтөрҙән һуң 4-се цифрға тиклем (иҫәпләү теүәллеген арттырыу өсөн) түңәрәкләйбеҙ ;
• Табабыҙ: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183}$  ;
• Разрядтары буйынса алабыҙ: ${\displaystyle \gamma =\pi -e\approx 3.1416-2.7183\approx 0.4233}$  ;
• Өтөрҙән һуң 3-сө цифрға тиклем түңәрәкләйбеҙ: ${\displaystyle \gamma \approx 0.423}$  .

График

Ысын һандар күмәклегендә алыу функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе графикта координаталар башы аша үтеүсе һәм күсәрҙәргә 45° мөйөш градусы ауышлыҡтағы яҫылыҡ күренешендә.

 

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$  булғанлыҡтан, был күмәклектәр өсөн дә алыу функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе ошо яҫылыҡҡа инә.

Комплекслы һандар

 

Комплекслы һандар күмәклеге арифметик ғәмәлдәре менән ялан булып тора һәм ғәҙәттә ${\displaystyle \mathbb {C} }$  символы менән тамғалана.

Комплекслы һандарҙы бер-береһенән алыу уларҙың ысын һәм уйҙырма өлөштәрен алыу юлы менән башҡарыла. Был шуны аңлата:

${\displaystyle c+fi=(a+di)-(b+ei)=(a-b)+(d-e)i,\ }$ 

бында: ${\displaystyle c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle i}$  — уйҙырма берәмек. Комплекслы һандарҙы комплекслы яҫылыҡта вектор итеп һүрәтләп, комплекслы һандарҙы алыуға шундай геометрик интерпретация бирергә мөмкин: комплекслы яҫылыҡта вектор менән һүрәтләнгән ике комплекслы һандың ${\displaystyle a+di}$  һәм ${\displaystyle b+ei}$  айырмаһы булып, кәмеүсе векторҙың осон кәметеүсе векторҙың осо менән тоташтырыусы һәм кәметеүсенән кәмеүсегә йүнәлгән вектор тора, ул векторҙарҙың айырмаһы, тимәк комплекслы һандарҙың айырмаһы була (кәмеүсегә кәметеүсегә ҡапма-ҡаршы векторҙы ҡушҡанда ла шул уҡ һөҙөмтә була).

Шуға оҡшаш рәүештә, n-сы үлсәмле комплекслы һандар өсөн: ${\displaystyle A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n};}$  ${\displaystyle C=A-B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})-(b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n})=}$  ${\displaystyle =(a_{1}-b_{1})1+(a_{2}-b_{2})i_{2}+\dots +(a_{n}-b_{n})i_{n}=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\dots +c_{n}i_{n}.}$ 

Экспоненциаль яҙыу

Экспоненциаль яҙыуҙа һандар ошо күренештә яҙыла: ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}$ , бында ${\displaystyle x}$  — мантисса, ${\displaystyle P^{n}}$  — һандың характеристикаһы, ${\displaystyle P}$  - иҫәпләү системаһының нигеҙе. Экспоненциаль формала яҙылған ике һанды алыу өсөн,дистрибутивлыҡ законы буйынса, уларҙың характеристикаһы бер төрлө булыуы талап ителә: ${\displaystyle a\cdot P^{n}-b\cdot P^{n}=(a-b)\cdot P^{n},}$ 

Мәҫәлән:

${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}-5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}-0.567\cdot 10^{-5}=(2.34-0.567)\cdot 10^{-5}=1.773\cdot 10^{-5}}$ 

Ирекле һандарҙы алыу

Төрлө күмәклектәргә ингән һандарҙы алғанда, бәләкәйерәк ҡеүәтле күмәклектән булған һанды ҙурыраҡ ҡеүәтле күмәклектән булған һан яғына киңәйтергә кәрәк, йәки, мөмкинлек булғанда, ике һанды ла күмәклектәре тигеҙләшкәнсе киңәйтергә кәрәк. Мәҫәлән, әгәр ${\displaystyle 9,56}$  рациональ һанынан ${\displaystyle 4}$  натураль һанын алырға кәрәк булһын, ти. Натураль һандар рациональ һандарҙың аҫкүмәклеге булыуын иҫәпкә алып,${\displaystyle 4}$  натураль һанын ${\displaystyle 4,00}$  рациональ һанына тиклем киңәйтәбеҙ һәм ике рациональ һанды алабыҙ: ${\displaystyle 9,56-4,00=5,56}$ . Ошоға оҡшаш рәүештә, ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} }$  булыуын иҫәпкә алып, төрлө күмәклектәрҙән булған һандарҙы алабыҙ.

• Сумма
• Сложение (математика)Ҡушыу
• Ҡабатлау
• Бүлеү

• Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс. (билдәһеҙ). — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
• Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
• Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. (билдәһеҙ). — Просвещение, 1966. — 296 с.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся. (билдәһеҙ). — Просвещение, 1988. — 416 с.
• Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение. (билдәһеҙ). — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике (билдәһеҙ). — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• В.И. Игошин КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА (русский) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
• Кононюк А.Е. Обобщенная теория моделирования. (билдәһеҙ). — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8.
• Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики : [арх. 24 август 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 15 января 2003 г. — § 97.