Un número cadrado perfecto en matemáticas, ou un número cadrado, é un número enteiro que é o cadrado doutro; ou dito doutro xeito, é un número que ten como raíz cadrada un número natural.
Un número é un cadrado perfecto se se pode dispor nunha figura cadrada. Por exemplo, 9 é un número cadrado perfecto xa que pode ser escrito como 3 × 3, e pódese dispor do seguinte xeito:
3² = 9 |
Un número enteiro positivo que non ten divisores cadrados fóra do 1 denomínase número libre de cadrados.
En álxebra, o cadrado dun número n exprésase como n², e equivale a n × n. A operación alxébrica de elevar ao cadrado un número n proporciónanos a área dun cadrado xeométrico cun lado que mide n. Por tal razón, esta operación coñécese como elevar ao cadrado.
Un número natural n elevado ao cadrado pódese linearizar por medio da seguinte expresión:
Así, por exemplo:
Que dá o mesmo resultado que a multiplicación:
A fórmula xeral para o n-ésimo número cadrado é n2. Esta expresión é igual á suma dos n primeiros números impares, demostrable por indución matemática, rexistrada na seguinte fórmula:
Un cadrado par pódese expresar como a suma de dous impares consecutivos. Se cumpre a condición cabe pois e exponse a seguinte ecuación:
Un número primo da forma pódese expresar como a suma de dous cadrados:
Os babilonios usaban táboas de cadrados para a multiplicación aplicando a fórmula:
O teorema dos catro cadrados de Lagrange establece que calquera número enteiro positivo pode ser escrito como a suma de catro cadrados perfectos. Tres cadrados non son suficientes para ser representados como números da forma 4k(8m + 7). Un número positivo pode ser representado como unha suma de dous cadrados precisamente se a factorización en números primos non contén potencias impares da forma 4k + 3. Esta é unha xeneralización do problema de Waring.
Segundo o último díxito do número n do que se quere calcular o seu cadrado pódese comprobar que este cadrado terá as propiedades seguintes:
12 = 1 | |
22 = 4 | |
32 = 9 | |
42 = 16 | |
52 = 25 |
A cantidade de factores (divisores) dun número cadrado perfecto é sempre impar. Ou dito doutro xeito, cúmprese que para todo número natural que non é cadrado perfecto, a cantidade dos seus factores é un número par.
Todo número natural pódese descompor en factores primos e os seus correspondentes expoñentes: ,
onde N é un número natural, son números primos e a,b,c,... os seus correspondentes expoñentes. Dado que todos os posibles divisores de N son unha combinación deste produto desde a=0,1,2,..a, b=0,1,2,...b e c=0,1,2,...c, a cantidade de divisores de N é:
n = (a+1).(b+1).(c+1)... onde n é a cantidade de factores ou divisores de calquera número natural.
Posto que nun número cadrado perfecto os expoñentes a, b, c, ... son números pares, todos os factores de n serán impares e polo tanto o produto tamén é un número impar. Isto pode comprobarse revisando unha táboa de divisores.
Os primeiros 50 cadrados perfectos son:
Pode calcularse un cadrado a partir do anterior ou do anterior cadrado par/impar respecto doutro coñecido.
Exemplos:
Outra maneira de calcular a distancia é tendo en conta a seguinte propiedade:
A diferenza entre un número cadrado e o consecutivo (se se comeza co 0) son todos os números impares, en orde ascendente:
0 + 1 = 1
1 + 3 = 4
4 + 5 = 9
9 + 7 = 16
Exemplos:
Estes casos resultan de interese con números moi grandes, para achar en bucles o seguinte cadrado ou o seguinte cadrado de lado par/impar, especialmente en computación onde as sumas son moito menos custosas que as multiplicacións e as multiplicacións por potencias de 2 poden ser realizadas con instrucións de desprazamento de bits. Á súa vez as multiplicacións ('2 * x' ou por '4 * x' segundo o caso), dentro dun bucle pode manterse como unha suma se se garda o valor previo de suma. Nótese como en ambos os casos á dereita do todo, o seguinte cadrado, para ambos os casos resólvense con sumas.
A operación á inversa é facilmente deducible, é dicir, achar o cadrado anterior a outro dado.
O n-ésimo número cadrado pode ser calculado do resultado obtido nas dúas anteriores posicións e ao que se lle engade o (n − 1)-ésimo cadrado de si mesmo, subtraendo o (n − 2)-enésimo cadrado, e engadindo 2 ( ). Por exemplo, 2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.
É a miúdo útil notar que o cadrado de calquera número pode ser representado como a suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por exemplo, o cadrado de 4 ou 42 é igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este é o resultado de engadir unha columna de grosor un ao grafo cadrado de lado tres (como nun taboleiro de tres en raia). Pódese engadir tamén tres lados e catro á parte superior para obter un cadrado. Isto pode ser tamén útil para atopar o cadrado dun número grande de forma inmediata. Por exemplo, o cadrado de 52 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. É máis fácil así:1572=1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. É o primeiro sumando e os demais son máis fáciles de atopar, 303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649
Un número cadrado pode ser considerado tamén como a suma de dous números triangulares consecutivos. A suma de dous números cadrados consecutivos é un número cadrado centrado. Cada cadrado impar é ademais un número octogonal centrado.
O cadrado dun número par sempre é par (de feito é divisible por 4), xa que (2n)2 = 4n2.
O cadrado dun número impar é sempre impar, xa que (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Disto séguese que a raíz cadrada dun cadrado perfecto par sempre é par, e a raíz cadrada dun cadrado perfecto impar sempre é impar. Este feito emprégase moito nas demostracións (véxase raíz cadrada de 2).
Para o primeiros cinco cadrados perfectos
Xeneralizando para os primeiros n cadrados perfectos resulta a suma
Exemplo: 52·54 + 1 = 2809, cadrado de 53.
Por exemplo, 95·97 + 1 = 9216. Nos dous casos achamos o cadrado da media aritmética dos factores.
Por exemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cadrado de 209.
Por exemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Logo 21·35 + 49 = 784, cadrado de 28.
Wiki Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Cadrado perfecto |
This article uses material from the Wikipedia Galego article Cadrado perfecto, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Todo o contido está dispoñible baixo a licenza CC BY-SA 4.0, agás que se indique o contrario. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Galego (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.