En matemáticas, a indución é un razoamento que permite demostrar proposicións que dependen dunha variable n que toma unha infinidade de valores enteiros.
En termos simples, a indución matemática consiste no seguinte razoamento:
A demostración está baseada no axioma denominado principio da indución matemática.
No Parmenides, diálogo de Platón do 370 a.C, quizais se pode identificar un temperán exemplo dunha explicación implícita de proba indutiva. A máis antiga pegada da indución matemática pódese atopar na demostración de Bhaskara I que empregando o «método cíclico» proba a infinidade dos números primos.
Unha técnica oposta, contando regresivamente en lugar de ascendentemente, pódese atopar no paradoxo sorites, onde se argumenta que se 10.000.000 de grans de area forman unha morea e removendo un gran da morea este continúa a ser unha morea, entón, un só gran (incluso ningún gran de area) forma unha morea.
Unha demostración implícita da indución matemática para secuencias aritméticas foi introducida por Al-Karaji na obra Al-Fakhri escrita ao redor do 1000 d. C., empregado para probar o teorema binomial e propiedades do triángulo de Pascal.
Ningún destes antigos matemáticos explicitou a hipótese indutiva. Outro caso similar foi o de Francesco Maurlico no seu Arithmeticorom libri duo (1575), que empregou a técnica para probar que a suma dos primeiros enteiros impares é igual a .
A primeira formulación explícita sobre o principio de indución foi establecida polo físico e matemático Blaise Pascal na súa obra Traité du triangle arithmétique (1665). Outro francés, Fermat, fixo amplo uso dun principio relacionado para unha demostración indirecta do infinito descendente. A hipótese indutiva foi tamén empregada polo suízo Jakob Bernoulli e a partir de entón foi máis coñecida.
O moderno tratamento de carácter rigoroso e sistemático chegou con George Boole, Augustus De Morgan, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano e Richard Dedekind.
Chamemos á proposición, onde é o rango.
Logo, demostrado isto, conclúese por indución que é certo para todo natural .
A indución pode comezar por outro termo que non sexa , por exemplo . Entón será válido a partir do número , é dicir, para todo natural .
Probarase que a seguinte declaración P(n), que se supón válida para todos os números naturais n.
P(n) dá unha fórmula para a suma dos números naturais menores ou iguais a n. A proba de que P(n) é verdadeira para todos os números naturais procede como segue:
con P(1) tense:
No lado esquerdo da ecuación, o único termo é 1, entón o seu valor é 1, mentres que no termo dereito, 1·(1 + 1)/2 = 1.
Ambos os lados son iguais, n = 1. Entón P(1) é verdadeira.
Asúmese que P(k) é verdadeira (para un valor non específico de k). Débese entón mostrar que P(k+1) é verdadeira:
empregando a hipótese de indución P(k) é verdadeira, o termo esquerdo pódese reescribir:
Desenvolvendo:
mostrando de feito que P(k+1) é verdadeira.
Posto que se realizaron os dous pasos da indución matemática tanto a base como o paso indutivo, a declaración P(n) cúmprese para todo número natural Q.E.D.
This article uses material from the Wikipedia Galego article Indución matemática, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Todo o contido está dispoñible baixo a licenza CC BY-SA 4.0, agás que se indique o contrario. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Galego (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.