Potenciación: Operación matemática

Cando n é un número natural maior que 1, a potencia aⁿ indica a multiplicación da base a por ela mesma tantas veces como indica o expoñente n, isto é,

${\displaystyle {{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},}$

da mesma forma que a multiplicación de n por a pode ser vista como unha suma de n sumandos iguais a a, ou sexa,

${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.}$

O expoñente é indicado á dereita da base, sobrescrito ou separado da base por un circunflexo. Pódese ler aⁿ como a elevado á n-ésima potencia, ou simplemente a elevado a n. Algúns expoñentes posúen nomes específicos: a² acostuma ser lido como a elevado ao cadrado e a³ como a elevado ao cubo.

A potencia aⁿ tamén pode ser definida cando n é un enteiro negativo, se a é diferente de cero. Non existe unha extensión natural para todos os valores reais de a e n, a pesar de que cando a base é un número real positivo é posible definir aⁿ para todo número real n, e mesmo para números complexos a través da función exponencial e^z. As funcións trigonométricas poden ser representadas en termos da potenciación complexa.

A potenciación tamén é usada noutras áreas, incluíndo economía, bioloxía, física e informática, con aplicacións como xuros compostos, crecemento da poboación, cinética química, comportamento de ondas e criptografía.

 

As potencias son explicadas nunha serie de pasos matemática básica. Todos eses pasos baséanse na xeneralización das seguintes leis, que poden ser probadas facilmente para n e m enteiros positivos:

${\displaystyle a^{(n+m)}=a^{n}\ a^{m}}$ 
${\displaystyle a^{(n\ m)}=(a^{n})^{m}}$ 

Expoñente zero

Para que

${\displaystyle a^{n}\ a^{m}\ =a^{(n+m)},}$ 

continúe valendo para n = 0, debemos ter:

${\displaystyle a^{0}=1}$ 

Expoñentes enteiros negativos

Para que

${\displaystyle a^{n}\ a^{m}}$  = ${\displaystyle a^{(n+m)}}$ 

sexa válido para n + m = 0, é necesario que elevar un número (distinto de cero) á potencia -1 produza o seu inverso.

${\displaystyle a^{-1}=\left({\frac {1}{a}}\right)}$ 

Entón ese cálculo resulta:

${\displaystyle a^{-n}=a^{-1.n}={(a^{-1})}^{n}={\left({\frac {1}{a}}\right)}^{n}={\frac {1^{n}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}$ 

Elevar 0 a unha potencia negativa implicaría unha división por 0, quedando indefinida.

Un expoñente enteiro negativo tamén pode ser visto como unha división pola base. Logo:

${\displaystyle 3^{-5}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}=\left({\frac {1}{3}}\right)^{5}={\frac {1}{3^{5}}}}$ 

Pódese probar que con esta definición ${\displaystyle a^{(n+m)}=a^{n}\ a^{m}}$  continúa verificándose para ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} .}$ 

Expoñentes un e cero

• Calquera número elevado a "un" é igual a el mesmo.

${\displaystyle n^{1}=n}$ 

• Calquera número (excepto o 0) elevado a 0 é igual a 1.

${\displaystyle n^{0}=n^{1}\cdot n^{-1}=n\cdot {\frac {1}{n}}=1}$ 

Indeterminacións

Na potenciación, é posible chegar ás formas de indeterminación seguintes:

• ${\displaystyle 0^{0}}$ 
• ${\displaystyle 0^{n},}$  cando ${\displaystyle n<0}$ 
• ${\displaystyle \infty ^{0}}$ 
• ${\displaystyle 1^{\infty }}$ 

Potencias cun expoñente que non altera o resultado

As potencias de 0 son as potencias de base 0, dadas por ${\displaystyle 0^{n}}$  n>0. A matemática considera indeterminado o valor da potencia: ${\displaystyle 0^{0},}$  mais as outras potencias de base 0 con expoñente positivo teñen como resultado cero.

As potencias de 1 son as potencias de base 1, dadas por ${\displaystyle 1^{n},}$  sendo n pertencente aos reais. Sen importar o valor de "n", ${\displaystyle 1^{n}}$  será sempre 1.

Expoñentes fraccionarios

Para que a expresión

${\displaystyle x^{n}\cdot x^{m}}$  = ${\displaystyle x^{(n+m)}}$ 

sexa válida para números racionais, debemos ter:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$  = ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$ 

Ou, de forma xenérica, para calquera expoñente fraccionario, o denominador do expoñente é o índice da raíz e o numerados é o expoñente do radicando:

${\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}}$  = ${\displaystyle x^{\frac {a}{b}}}$ 

Para que iso sexa válido independentemente da fracción usada no expoñente débese impor que x sexa un número positivo.

Expoñentes decimais

No caso de expoñente decimal, debemos transformalo en fracción e despois en raíz:

${\displaystyle x^{1,5}=x^{\frac {15}{10}}={\sqrt[{10}]{x^{15}}}}$ 

Expoñentes irracionais

Como a potenciación ten a propiedade de que expoñentes próximos xeran resultados próximos, pódese definir a potenciación con expoñentes irracionais como:

${\displaystyle x^{\pi }\approx x^{3.14159}}$ 

Expoñentes imaxinarios e complexos

Euler divulgou a fórmula

${\displaystyle e^{i.x}=cos(x)+i\cdot sen(x)}$ 

que, coa forma equivalente ${\displaystyle \log _{e}(\cos x+i\mathrm {sen} \,x)=ix}$  xa era coñecida por Roger Cotes.

Así, usándose logaritmos, pódese definir para calquera a real e z complexo, z = x + i y:

${\displaystyle a^{z}=(e^{\log a})^{z}=e^{(z\cdot \log a)}=a^{x}\ (cos(y\ \log a)+i\cdot sen(y\ \log a))}$ 

Outros artigos

• Binomio de Newton
• Raíz (matemáticas)
• Fórmula de Euler