Kāpināšana

Kāpināšanu parasti pieraksta kā aⁿ, kur a ir kāpināmais, n ir kāpinātājs, bet iegūtais rezultāts — pakāpe. Izteiksmi aⁿ lasa kā "a pakāpē n".

Pozitīvs kāpinātājs

Ja kāpinātājs n ir naturāls skaitlis (vesels, pozitīvs skaitlis), tad izteiksme aⁿ atbilst skaitļa a atkārtotai reizināšanai ar sevi n reižu:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\text{ reizes}}}.}$ 

Tas ir analoģiski tam, kā reizinājums a·n atbilst skaitļa a saskaitīšanai ar sevi n reižu:

${\displaystyle a\cdot n=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n{\text{ reizes}}}.}$ 

Mazām pakāpēm n ir atvēlēti īpaši nosaukumi:

• Ja n = 2, tad izteiksmi a² = a·a sauc par lieluma ${\displaystyle a}$  kvadrātu, jo pēc šādas formulas aprēķina kvadrāta laukumu;
• Ja n = 3, tad izteiksmi a³ = a·a·a sauc par lieluma a kubu, jo pēc šādas formulas aprēķina kuba tilpumu.

Negatīvs kāpinātājs

Kāpinot doto lielumu pakāpē −1, iegūst tā apgriezto lielumu:

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}$ 

Vispārīgā gadījumā, lai aprēķinātu dotā lieluma negatīvu pakāpi, skaitli 1 dala ar atbilstošu lieluma pozitīvo pakāpi:

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}.}$ 

Kāpinātāji 0 un 1

Lieluma a kāpināšana pakāpē 1 atbilst reizinājumam, kurā a ietilpst tieši vienu reizi, tāpēc rezultāts ir vienāds ar a:

${\displaystyle a^{1}=a.\,}$ 

Ja jebkuru skaitli, kas atšķirīgs no nulles, kāpina pakāpē 0, tad iegūst skaitli 1:

${\displaystyle a^{0}=1.\,}$ 

Savukārt nulli nulltajā pakāpē nevar kāpināt (izteiksme 0⁰ ir nenoteiktība).

Kāpinātājs var būt arī racionāls skaitlis, piemēram, izteiksmi

${\displaystyle a^{1/2}={\sqrt {a}}}$ 

sauc par kvadrātsakni no a. Kāpināšana pakāpē 1/n, kur n ir naturāls skaitlis, atbilst n-tās pakāpes saknes vilkšanai:

${\displaystyle a^{1/n}={\sqrt[{n}]{a}}.}$ 

Vispārīgā gadījumā, ja pozitīvu skaitli a kāpina racionālā pakāpē m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir vesels, pozitīvs skaitlis, tad iegūst

${\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}.}$ 

Ja a ir negatīvs, tad šo formulu var lietot tikai tad, ja m ir pāra skaitlis.

Reizinot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju summu:

${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.}$ 

Līdzīgā kārtā, dalot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju starpību:

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}.}$ 

Kāpināšana ir distributīva pār reizināšanu:

${\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}.}$ 

Atkārtotu kāpināšanu var aizstāt ar kāpināšanu pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju reizinājumu:

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n},}$ 

taču kāpināšana nav asociatīva:

${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}.}$ 

Tāpat kā saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana un reizināšanai pretējā darbība ir dalīšana, kāpināšanai pretējā darbība ir logaritmēšana (ja grib atgūt kāpinātāju) un saknes vilkšana (ja grib atgūt kāpināmo).

• Kvadrātsakne
• Kubsakne
• Logaritms
• Polinoms
• Saknes vilkšana

• Eric W. Weisstein, Exponentiation, MathWorld.
• Exponential Arhivēts 2010. gada 15. jūnijā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Eric W. Weisstein, Complex Exponentiation, MathWorld.
• Introducing 0th power Arhivēts 2010. gada 20. jūnijā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Exponentiation, answermath.com.
• Exponents Calculator (pakāpju kalkulators).