Umocňovanie: Matematická operácia

Umocňovanie je s násobením v podobnom vzťahu, v akom je samo násobenie ku sčítaniu. Výsledok umocňovania sa nazýva mocnina.

Umocňovanie slúži na skrátenie zápisu viacnásobného násobenia:

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a} &=a^{b}\\{b}\end{matrix}}}$

V tomto vzorci sa a označuje ako základ mocniny alebo mocnenec a b sa nazýva exponent (mocniny) alebo mocniteľ. Výsledkom je b-tá mocnina čísla a, a na b-tu. Špeciálnym prípadom prázdneho súčinu je a⁰ = 1 (pre a ≠ 0, pozri nižšie).

Keď sa nedá písať exponent na hornú pozíciu, používa sa často zápis v tvare a^b, niekedy tiež aj a**b.

Vyššie uvedená definícia umocňovania ako opakovaného násobenia je použiteľná iba pre prirodzené exponenty. Záporné exponenty označujú mocninu prevráteného čísla:

${\displaystyle a^{-n}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{n}={\frac {1}{a^{n}}}}$ 

Zovšeobecnenie pre racionálny exponent poskytuje definícia:

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ .

Zovšeobecnenie na celý obor reálnych čísel (tj. rozšírenie definície o mocniny s iracionálnymi exponentami) sa potom dosahuje dodefinovaním pomocou limity.

Mocniny s komplexným základom sú definované nasledujúcim spôsobom: Ak je ${\displaystyle a+bi=r\cdot e^{i\varphi }}$  s reálnymi číslami a, b, n, r > 0 a φ, potom platí

${\displaystyle z^{n}\equiv (a+b\;i)^{n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{i\;n\varphi }=r^{n}\cdot (\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi ))}$ 

Ak je navyše exponent a číslo všeobecne komplexné, potom je mocnina daná ako

${\displaystyle z^{a}=e^{a\operatorname {Ln\ } z}=e^{a\left(\operatorname {ln} |z|+i\varphi \right)},}$ 

kde argument φ má nutne skok, ktorého polohu však možno zvoliť. Volí sa spravidla φ z intervalu <0;2π) alebo (-π;π>. Teda mocnina je všeobecne viacznačná funkcia a pokiaľ nie je a celé číslo, mocnina nie je na celej komplexnej rovine holomorfná.

• ${\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}}$ 
• ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}},\quad b\neq 0}$ 
• ${\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}}$ 
• ${\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}},\quad a\neq 0}$ 
• ${\displaystyle {\frac {a^{x}}{a^{y}}}=a^{x-y},\quad a\neq 0}$ 
• ${\displaystyle \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x\cdot y}}$ 
• ${\displaystyle a^{0}=1}$  pre a ≠ 0 (pre 0⁰ pozri nižšie)

Umocňovanie nie je všeobecne komutatívne (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

Výraz 0⁰ nie je celkom všeobecne definovaný. Napríklad limita v tomto tvare je tzv. neurčitý výraz a pre jej vyčíslenie je potrebné použiť inú techniku (napr. L’Hospitalovo pravidlo). Dôvodom pre túto nedefinovanosť je dvojitý pohľad na tento výraz: Prvý pohľad na výraz hľadí ako na funkciu x⁰, ktorá je všade (okrem nuly) rovná jednej, takže je možno ju v nule dodefinovať rovnako a kladie sa 0⁰ = 1. Naopak druhý pohľad vychádza z funkcie 0^x, ktorá je všade (okrem nuly) nulová, takže sa v nule dodefinuje 0⁰ = 0.

V bežných situáciach sa používa hlavne prvá definícia, podľa ktorej je

0⁰ = 1,

inokedy je 0⁰ ponechané nedefinované, v niektorých kontextoch je možné sa stretnúť i s použitím druhej definície.

Pre použitie prvej definície existuje niekoľko závažných dôvodov, medzi najdôležitejšie patrí binomická veta, pre ktorej všeobecnú platnosť je táto definícia vyžadovaná.

Ak je mocniteľ kladný, tak je mocnina nuly nula. 0^x = 0, kde x > 0.

Pokiaľ je mocniteľ záporný, potom je mocnina nuly (0^−x, kde x > 0) nedefinovaná, pretože delenie nulou nie je na množine reálnych čísel definované.

V každodennom živote často používame mocniny so základom desať (to sú 1, 10, 100, 1000, …). Tieto mocniny tvoria základ našej desiatkovej číselnej sústavy, ako i v sústave SI sú predpony násobkov jednotiek označením mocnín desiatich – 1 kg = 10³ g apod.

Počítače pri spracovaní dát používajú dvojkovú sústavu, založenú na mocninách čísla 2. Z toho dôvodu sa niekedy v informatike používajú násobky jednotiek ako mocniny so základom 2 – 1 KiB = 2¹⁰ B = 1024 B. (pozri tiež binárny prefix.)

V matematike sú zvlášť dôležité mocniny so základom e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerovho čísla.

Mocnina je veľmi rýchlo rastúca funkcia, jedna z najrýchlejšie rastúcich bežne používaných funkcií. Príkladom rýchlosti rastu je nasledujúce pozorovanie:

Príklad 1

List papiera sa dá obvykle preložiť (na polovicu) iba asi sedemkrát. Výsledkom je 128 (2⁷) vrstiev papiera. Ak by (teoreticky) takýto papier bol preložený 42-krát, vrstva papiera by mala hrúbku rovnajúcu sa vzdialenosti zo Zeme na Mesiac.

Príklad 2

Každý človek má dvoch biologických rodičov, štyroch prarodičov, osem praprarodičov atď. Ak sledujeme tento rodokmeň ďalej, dajme tomu 70 generácií, dostaneme sa až do doby narodenia Ježiša Krista. V tomto prípade počet predkov každého človeka predstavuje 2⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424 ľudí. To výrazne presahuje počet všetkých doposiaľ žijúcich ľudí.