Umocňování: Opakované násobení stejného čísla

Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

${\displaystyle \underbrace {z\cdot z\cdot z\cdots z} _{n\operatorname {-kr{\acute {a}}t} }=z^{n}}$

V tomto vzorci se z označuje jako základ mocniny (mocněnec) a n se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „n-tá mocnina čísla z“, „z na n-tou“. Například 3 · 3 · 3 · 3 = 81 je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme 3⁴. Exponent může být obecně reálné, nebo dokonce komplexní číslo (viz #Definice).

Speciálním případem prázdného součinu je z⁰ = 1 (pro z ≠ 0, jinak viz #Nula na nultou). Pro nulový základ a kladný exponent (n > 0) pak platí 0ⁿ = 0.

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru z^n, někdy také z**n.

Pomocí umocňování je definováno několik základních funkcí a posloupností: Mocninná funkce f(x) = a · xⁿ, exponenciální funkce f(x) = z^x, geometrická posloupnost a_n = zⁿ a funkce f(x) = x^x.

Inverzní operace k umocňování je odmocňování. Opakované umocňování je tetrace.

Mocnina s přirozeným exponentem (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ) se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto:

${\displaystyle z^{1}=z}$ 
${\displaystyle z^{n+1}=z^{n}\cdot z}$ 

Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu (${\displaystyle z\neq 0}$ ) tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ):

${\displaystyle z^{n}={z^{n+1} \over z}}$ 

${\displaystyle z^{0}={z \over z}=1}$ 

${\displaystyle z^{-n}={1 \over z^{n}}=\left({1 \over z}\right)^{n}}$ 

Definici lze dále zobecnit pro racionální exponent s využitím odmocňování:

${\displaystyle z^{n \over m}={\sqrt[{m}]{z^{n}}}}$ 

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity:

${\displaystyle z^{n}=\lim _{x\to n \atop x\in \mathbb {Q} }z^{x}}$ 

Pro mocniny s komplexním základem ${\displaystyle z=a+bi=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )=r\cdot e^{i\varphi }}$ , kde ${\displaystyle a,b,\varphi \in \mathbb {R} }$  a ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{0}^{+},}$  pak platí (viz Moivrovu větu)

${\displaystyle z^{n}\equiv (a+bi)^{n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{i\;n\varphi }=r^{n}\cdot [\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi )].}$ 

Argument ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Arg} z}$  má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla ${\displaystyle \varphi }$  z intervalu ${\displaystyle \langle 0;2\pi )}$  nebo ${\displaystyle (-\pi ;\pi \rangle }$ . Komplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně mnohoznačná funkce a není na celé komplexní rovině holomorfní.

Pokud je navíc komplexním číslem i exponent ${\displaystyle n}$ , pak je mocnina dána jako

${\displaystyle z^{n}=e^{n\ln z}=e^{n(i\varphi +\ln r)}.}$ 

Alternativní definice

Užitečná definice z oblasti teorie množin říká, že pro množiny ${\displaystyle A,B}$  je ${\displaystyle A^{B}=\{f|f:B\rightarrow A\}}$  čili množina všech zobrazení množiny ${\displaystyle B}$  do množiny ${\displaystyle A}$ , tedy takových zobrazení, která každému prvku z ${\displaystyle B}$  přiřazují právě jeden prvek z ${\displaystyle A}$ . Jsou-li obě množiny konečné, pak počet takových zobrazení je ${\displaystyle \left|A^{B}\right|=|A|^{|B|}}$ , přičemž klademe 0⁰ = 1 (viz #Nula na nultou). Příklad:

${\displaystyle \{0,1\}^{\{a,b\}}={\Big \{}\{a\mapsto 0;b\mapsto 0\},\{a\mapsto 0;b\mapsto 1\},\{a\mapsto 1;b\mapsto 0\},\{a\mapsto 1;b\mapsto 1\}{\Big \}}}$ 

${\displaystyle \left|\{0,1\}^{\{a,b\}}\right|=|\{0,1\}|^{|\{a,b\}|}=2^{2}=4}$ 

Mocninu ${\displaystyle z^{n}}$  s nezáporným celým základem i exponentem (${\displaystyle z,n\in \mathbb {N} _{0}}$ ) lze také vyjádřit jako počet všech uspořádaných ${\displaystyle n}$ -tic, jejichž složky jsou ze ${\displaystyle z}$ -prvkové množiny. Toto vyjádření je velmi podobné předchozí definici, protože zobrazení ${\displaystyle n}$ -prvkové množiny lze zapsat jako uspořádanou ${\displaystyle n}$ -tici. Příklad:

${\displaystyle 2^{3}=\left|\{0,1\}^{3}\right|=\left|{\Big \{}(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1){\Big \}}\right|=8}$ 

Pro reálná nebo komplexní čísla ${\displaystyle a,b,x,y}$  platí následující vztahy (jsou-li výrazy na obou stranách definované):

• ${\displaystyle \left(ab\right)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}}$  za podmínky, že ${\displaystyle x}$  je celé číslo nebo ${\displaystyle \operatorname {Arg} a+\operatorname {Arg} b\in (-\pi ;\pi \rangle }$ , tedy že se neprojeví skok argumentu
• ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}}}$  za podmínky, že ${\displaystyle x}$  je celé číslo nebo ${\displaystyle \operatorname {Arg} a-\operatorname {Arg} b\in (-\pi ;\pi \rangle }$ 
• ${\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}}$ 
• ${\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}},\quad a\neq 0}$ 
• ${\displaystyle {\frac {a^{x}}{a^{y}}}=a^{x-y},\quad a\neq 0}$ 
• ${\displaystyle \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x\cdot y}}$  za podmínky, že ${\displaystyle y}$  je celé číslo nebo ${\displaystyle \operatorname {Im} (x\ln a)\in (-\pi ;\pi \rangle }$ 
• ${\displaystyle a^{0}=1}$  pro ${\displaystyle a\neq 0}$  (pro 0⁰ viz níže)

Umocňování není obecně komutativní (2³ ≠ 3²) ani asociativní: (2²)³ ≠ 2⁽²³⁾.

Nula umocněná na kladné číslo je nula, tedy pro x > 0 je 0^x = 0.

Naproti tomu nula umocněná na záporné číslo není definována, protože takový výraz vede na dělení nulou, které není na množině reálných ani komplexních čísel definováno:

Pro x > 0 je ${\displaystyle 0^{-x}={1 \over 0^{x}}={1 \over 0}.}$ 

Nula na nultou

Zcela obecně není výraz 0⁰ definován. Limita mocniny, jejíž základ i exponent konvergují k nule, je totiž tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba znát vztah mezi základem a exponentem. Na výraz 0⁰ se tedy lze dívat dvěma základními způsoby. První pohled na něj hledí jako na limitu funkce x⁰, která je všude kromě nuly rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 0⁰ = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0^x, která je pro všechna kladná x nulová, takže se i v nule dodefinuje 0⁰ = 0.

V běžných situacích se používá hlavně první definice (0⁰ = 1), která je vyžadována pro jednoduchý zápis mnoha vzorců:

• Aby při zápisu polynomu ve tvaru ${\displaystyle p(x)=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}}$  platilo ${\displaystyle p(0)=a_{0}}$ , musí být 0⁰ = 1. Podobný zápis se používá také pro mocninnou řadu.
• Obecná platnost binomické věty vyžaduje 0⁰ = 1.
• Existuje právě jedno zobrazení prázdné množiny do prázdné množiny, a to prázdné zobrazení (viz #Alternativní definice).
• Pravidlo pro derivování mocninné funkce ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} x^{n}}{\operatorname {d} x}}=nx^{n-1}}$  platí pro n = 1 v bodě x = 0 jen tehdy, když 0⁰ = 1.

Jindy je 0⁰ ponecháno nedefinované, zcela výjimečně je možno se setkat i s použitím druhé definice (0⁰ = 0).^[zdroj⁠?]

V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.

Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a²), tj. vynásobení čísla a sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako čtverec, protože obsah čtverce je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a²).

Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 2¹⁰ B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)

V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.

• Odmocnina
• Logaritmus
• Mocninná funkce
• Exponenciální funkce
• Geometrická řada
• Kořen (matematika)

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu umocňování na Wiki Commons
•   Slovníkové heslo mocnina ve Wikislovníku