Пурлăх Хисепĕ

Натураллă хисепсене икĕ майлă палăртаççĕ:

• япаласене шутласа пыни (нумĕрлени) пек (пĕрремĕш, иккĕмĕш, виççĕмĕш…) —тĕнчери пур çĕршывсенче (Раççейре те) пĕтĕмĕшле çапла йышăннă.

• япаласен шутне кăтартса (япаласем çук, пĕр япала, икĕ япала…) — кăна Бурбаки ĕçĕсенче пĕтĕмĕшле йышăннă, унта натураллă хисепсене вĕçсĕр мар йышсен хăвачĕ пек палăртаççĕ.

Минуслă хисепсем тата тулли мар хисепсем — натураллă хисепсем пулмаççĕ.

Натураллă хисепсен йышне çапла символпа кăтартаççĕ: ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Натураллă хисепсен йышĕ вĕçĕ-хĕррисĕр — яланах кирек епле натураллă хисепрен пысăкраххи тупăнать.

Натураллă хисепсен теорийĕ Пеано аксиомисем çинче никĕсленет (теорилле арифметика).

${\displaystyle X}$  хисепе ун хыççăнхи хисепе палăртма лартакан ${\displaystyle S}$  функцине кĕртĕпĕр.

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$  (${\displaystyle 1}$  пурлăх хисепĕ пулать);

1. Эхер ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ , то ${\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} }$  (Пурлăх хисепĕ хыççăнхи хисепĕ çаплах пурлăхли шутланать);

1. ${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)}$  (1 кирек епле пурлăх хисепĕ хыççăн пулмасть);

1. Эхер ${\displaystyle S(b)=a}$  тата ${\displaystyle S(c)=a}$ , çапла ${\displaystyle b=c}$  (эхер пурлă хисеп ${\displaystyle a}$  хыççăнах ${\displaystyle b}$  хисеп хыççăнхи пекех, çаплах ${\displaystyle c}$  хыççăн та пулать пулсан, ĕнтĕ ${\displaystyle b=c}$ ) пулать;

1. # Индукци аксиоми. ${\displaystyle P(n)}$  ${\displaystyle n}$  пурлăх хисепĕнчен килекен пĕр вырăнлă предикат пултăр. Вара:

эхер те ${\displaystyle P(1)}$  тата ${\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))}$  пулсан, çапла пулать ${\displaystyle \forall n\;P(n)}$ 

(Эхер хăш ${\displaystyle P}$  çирĕлетни ${\displaystyle n=1}$  (индукци бази) тĕрĕс шутланать тата кирек епле ${\displaystyle n}$  чух тата ${\displaystyle P(n)}$  тĕрĕс пулсан, ${\displaystyle P(n+1)}$  та тĕрĕс пулĕ (индукциллĕ ăнкарту), ĕнтĕ ${\displaystyle P(n)}$  кирек епле ${\displaystyle n}$  пурлăх хисепĕшĕн тĕрĕс пулса тăрать.

Асăрхаттарни

Хăш чух, ют çĕр чĕлхисенчен куçарнă кĕнекесенче, пĕрремĕш тата виççĕмĕш аксиомăсенче ${\displaystyle 1}$ -не ${\displaystyle 0}$  çине яраççĕ.

Çак чух вара «нуль» хисепе пурлăх хисепĕ вырăнне хумалла.

Вырăс литературинче яланах нуль хисепе пурлăх хисепĕсен шутĕнчен кăларнă ${\displaystyle 0\notin \mathbb {N} }$ , пурлăх хисепĕсен нумайлăхĕ, нульпе пĕрли ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$  палăртаççĕ.

Енчен те пурлăх хисепĕсен палăртăвне нуль кĕртнĕ пулсан, вара пурлăх хисепĕсен нумайлăхне çапла çыраççĕ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , нульсăр ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ .

Нумайлăх теорине пăхăнса, математика системисене кăткăс ăсталама епле кирлĕ пĕртен-пĕр объекчĕ нумайлăх пулать.

Çак енпе, пурлăх хисепĕсене нумайлах палăртăвĕсенчен, икĕ йĕркене тытса пырса кăлараççĕ:

• ${\displaystyle 0=\varnothing }$ 

• ${\displaystyle S(n)=n\cup \left\{n\right\}}$ 

Çакăн пек хушса кăларнă хисепсене ординаллисем теççĕ.

Темиçе пĕрмĕш ординаллă хисепсем тата вĕсене тивĕçлĕ пурлăх хисепĕсем:

• ${\displaystyle 0=\varnothing }$ 

• ${\displaystyle 1=\left\{\varnothing \right\}}$ 

• ${\displaystyle 2={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}}$ 

• ${\displaystyle 3={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}}$ 

Пурлăх хисепĕсен хупăнчăклă операцийĕсем (вĕçĕмлĕ хисепне пурлăх хисепĕсен нумайлахĕнчен кăларман операци) шутне çак арифметикăллă операцисем кĕреççĕ:

• Хушмалли. Хушăнакан + Хушăнакан = Сумлăхĕ

• Хутламалли. Хутланакан * Хутланакан = Хутласа хуни

• Капаша хăпартни(капаштарни) ${\displaystyle a^{b}}$ , ăçта a — капашăн тĕпĕ, b — капашăн кăтартăвĕ. Эхер тĕпĕ тата кăтартăвĕ пурлăхлă, ĕнтĕвĕçĕмлĕ хисепĕ те пурлăхлă пулать.

• Кăларни. Сахалланаканĕ ${\displaystyle -}$  Кăлараканĕ = Уйрăлăвĕ. Сахалланаканĕ ${\displaystyle -}$  Кăлараканĕ = Уйрăлавĕ. Кун чухне сахаллаканĕ кăлараканĕнчен пĕчĕкрех пулмалла (е унпа тан, эхер те 0 пурлăх хисепĕ вырăнне хурсан).

• Пайлани. Пайланакан / Пайлакан = (Пайланăвĕ, Юлни).

Хушас тата хутлас операцисем тĕп никĕслисем шутланаççĕ. Сăмахран, тулли хисепсен ункине хушас тата хутлас бинар операцисемпе палăртаççĕ.

1. Хушмаллин коммутативлăхĕ. ${\displaystyle \,\!a+b=b+a}$ 
2. Хутланин коммутативлăхĕ ${\displaystyle \,\!ab=ba}$ 
3. Хушмаллин ассоциативлăхĕ. ${\displaystyle \,\!(a+b)+c=a+(b+c)}$ 
4. Хутланин ассоциативлăхĕ. ${\displaystyle \,\!(ab)c=a(bc)}$ 
5. Хутланин хушмалли енчен дистрибутивлăхĕ. ${\displaystyle \,\!{\begin{cases}a(b+c)=ab+ac\\(b+c)a=ba+ca\end{cases}}}$ 

• 1 пуçласа 10 çитиччен — пĕрре (1), иккĕ (2), виççĕ (3), тăваттă (4), пиллĕк (5), улттă (6), çиччĕ (7), саккăр (8), тăххăр (9), вуннă (10).

• 11 пуçласа 20 çитиччен — вунпĕр (11), вуниккĕ (12), вунвиççĕ (13), вунтăваттă (14), вунпиллĕк (15), вунулттă (16), вунçиччĕ (17), вунсаккăр (18), вунтăххăр (19), çирĕм (20).

• 30 пуçласа 90 çитиччен — вăтăр (30), хĕрĕх (40), аллă (50), утмăл (60), çитмĕл (70), сакăрвуннă (80), тăхăрвуннă (90).

• 100 пуçласа 900 çитиччен — çĕр (100), икçĕр (200), виççĕр (300), тăватçĕр (400), пиллĕкçĕр (500), ултçĕр (600), çичçĕр (700), сакăрçĕр (800), тăхăрçĕр (900).

• Мăн хисепсем — пин, миллион, миллиард, триллион.

• Тулли хисеп
• Ваклă хисеп
• Япалалăхла хисеп

• http://Lib.Mexmat.Ru 2012 ҫулхи Юпа уйӑхӗн 22-мӗшӗнче архивланӑ. — «Поиск книг по теме» 2016 ҫулхи Пуш уйӑхӗн 4-мӗшӗнче архивланӑ.
• https://web.archive.org/web/20070207023627/http://www.sgu.ru/ie/mehmat/matin/R1-1.htm